Jaką moc minimalną potrzebuje helikopter aby zawisnąć w powietrzu? Pomijając opory powietrza, do obliczeń powinien wystarczyć ciężar, w tym przypadku 10N. Jednak jak obliczyć potrzebną moc?
Jaką moc minimalną potrzebuje helikopter aby zawisnąć w powietrzu? Pomijając opory powietrza, do obliczeń powinien wystarczyć ciężar, w tym przypadku 10N. Jednak jak obliczyć potrzebną moc?
Jest to pytanie, na które odpowiedź można sformułować stosunkowo łatwo dzięki analizie wymiarowej. Wypiszmy najpierw parametry, od których zależeć może moc $P$ helikoptera wiszącego w powietrzu. Na pewno zależeć może ona od przyspieszenia grawitacyjnego $g$ oraz gęstości powietrza $\rho_p$, a także od rozmiaru i kształtu helikoptera oraz rozkładu jego masy. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kształt helikoptera charakteryzowany jest przez jeden parametr $d$ określający jego rozmiar, natomiast masa helikoptera rozłożona jest ze średnią gęstością $\rho_h$. Biorąc pod uwagę te cztery parametry, musi być możliwe zapisanie szukanej mocy jako
$$
P\sim g^a d^b \rho_h ^c \rho_p^d,
$$
gdzie $a,b,d$ oraz $d$ to odpowiednie potęgi. Przyrównując wymiary z obu stron dostajemy:
$$
\frac{kg\, m^2}{s^3} = \Big(\frac{m}{s^2}\Big)^a m^b \Big(\frac{kg}{m^3}\Big)^c \Big(\frac{kg}{m^3}\Big)^d,
$$
a zatem zgodność wymiarów wymaga spełnienia takich warunków:
$$
c+d=1,\qquad a+b-3(c+d)=2,\qquad -2a=-3,
$$
których rozwiązanie przyjmuje postać $a=\frac{3}{2}$, $b=\frac{7}{2}$, $c=1-d$. Ponieważ do dyspozycji mamy tylko trzy równania (a cztery niewiadome), w dalszym ciągu pozostaje nam jeden wolny parametr (tzn. $c$ oraz $d$ jak na razie nie są jednoznacznie wyznaczone). Możemy jednakże założyć, że moc zawieszonego helikoptera powinna zależeć po prostu od jego ciężaru, tzn. tylko poprzez ciężar powinna przejawiać się zależność od $g$. Skoro ciężar to iloczyn $g$ oraz masy, czyli objętości i gęstości $\rho_h$, to $g$ oraz $\rho_h$ powinny pojawiać się z takim samym wykładnikiem. Zatem możemy przyjąć $c=a=\frac{3}{2}$, skąd też wynika $d=1-c=-\frac{1}{2}$. Ostatecznie otrzymujemy $P \sim (g\rho_h)^{3/2} d^{7/2} \rho_p^{-1/2}$, co można zapisać jako
$$
P\sim (\rho_h d^3g)\cdot\sqrt{d}\cdot\sqrt{g} \cdot\sqrt{\frac{\rho_h}{\rho_p}}.
$$
Pierwszy wyraz w powyższym wyrażeniu $(\rho_h d^3 g)$ to ciężar, drugi to pierwiastek z liniowego rozmiaru helikoptera, natomiast ostatni to iloraz gęstości helikoptera i powietrza. Widzimy więc, że sam ciężar nie wystarcza do oszacowania mocy — zależy ona ponadto od pierwiastka z rozmiaru, a także stosunku gęstości helikoptera do gęstości powietrza. Szczególnie interesujące jest zależność mocy $P$ od $\sqrt{d}$ — wynika z niej, że im mniejszy jest dany obiekt, tym mniejsza moc jest potrzebna do tego, by mógł on zawisnąć w powietrzu. Właśnie z tego powodu małe zwierzęta (owady, kolibry) są w stanie w powietrzu „zawisnąć”, czego z kolei nie są w stanie dokonać większe ptaki.