Na początek wypada zauważyć, że schody przedstawione na obrazku wspomnianym w pytaniu nie tyle nigdzie się nie kończą, co raczej tworzą pętlę. Oczywiście, nie ma nic osobliwego w samym fakcie, że schody tworzą pętlę — osobliwość tych schodów polega na tym, że tworzą one pętlę i że idąc nimi w jednym kierunku od ustalonego punktu do tego samego punktu cały czas poruszamy się pod górę lub też cały czas poruszamy się w dół — takie przynajmniej mamy złudzenie patrząc na rysunek. Pytanie, czy można takie schody skonstruować w rzeczywistości.

Załóżmy więc, że udało nam się takie schody skonstruować — schody te tworzą „zwykłą” pętlę $L$, o której bez straty ogólności możemy założyć, że jest brzegiem powierzchni $\Sigma$. Jeżeli idąc po tych schodach w jednym kierunku od ustalonego punktu do niego samego cały czas idziemy pod górę to każdy krok w tym kierunku oznacza wykonanie dodatniej pracy przeciw siłom grawitacji. Zatem obejście całych schodów związane jest z wykonaniem większej od zera pracy $W$ o wartości
\[
W=-\oint_L \vec{F}\circ d\vec{l}>0,
\]
gdzie $\vec{F}$ jest polem wektorowym opisującym siłę (newtonowskiej) grawitacji działającą na osobę idącą po schodach. Na mocy twierdzenia Stokesa
\[
W=-\oint_L \vec{F}\circ d\vec{l}=-\int_\Sigma ({\rm rot}\,\vec{F})\circ d\vec{\sigma}.
\]
Z drugiej strony pole grawitacyjne jest polem potencjalnym o potencjale (skalarnym) $\varphi$ tzn.
\[
\vec{F}=-{\rm grad}\,\varphi.
\]
Podstawiając tak wyrażone pole $\vec{F}$ do poprzedniego równania otrzymujemy
\[
W=-\int_\Sigma ({\rm rot}\,\vec{F})\circ d\vec{\sigma}=\int_\Sigma ({\rm rot}\,{\rm grad}\,\varphi)\circ d\vec{\sigma}=0
\]
ponieważ rotacja gradientu funkcji $\varphi$ znika tożsamościowo.

Otrzymaliśmy w ten sposób sprzeczność: jednocześnie $W>0$ i $W=0$. Oznacza to, że schody w kształcie pętli, po których można cały czas iść pod górę (lub cały czas w dół) nie dadzą się skonstruować, a fakt zerowania się rotacji gradientu funkcji jest istotnym elementem rozumowania wykazującego ową niemożność.

Odnośnie drugiego twierdzenia to niestety nie potrafię odnieść go w równie nietrywialny i ciekawy sposób do „życia codziennego”.