Mam pytanie w sprawie pewnego doświadczenia, które wykonałem w szkolnej pracowni fizycznej. Jestem licealistą i nie za bardzo się na tym znam, więc zadaję pytanie. Na lince, przymocowanej do więzów zawiesiłem sprężynę, a na niej masę. Sprężynę i wahadło wychyliłem jednocześnie z położenia równowagi. Efekt był zaskakujący. Przy największej amplitudzie wahadła sprężyna maksymalnie się rozciągała. Potem, po kilku okresach drgań, sprężyna rozciągała się i kurczyła szybciej, lecz cały czas maksymalne skurczenie lub rozciągnięcie sprężyny następowało przy największym wychyleniu wahadła z równowagi. I potem znowu sytuacja wyglądała jak na początku. Mój znajomy fizyk zasugerował, że to może być model oscylatora kwantowego. Czy tak rzeczywiście jest?
Drgania i chaos
Pytanie
Odpowiedź
Jak rozumiem sprężyna została doczepiona do wahadła (zamiast bezpośredniego dołożenia masy), a następnie na końcu sprężyny znajduje się masa. Problem taki wbrew pozorom jest niezwykle skomplikowany i zahacza o teorię chaosu. Można naturalnie wprowadzić uproszczenia:
- masa sprężyny jest zaniedbywalna
- sprężyna przez cały czas zachowuje kierunek linki
Następnym krokiem może być wręcz pozbycie się linki i przyczepienie jednego końca sprężyny do punktu zawieszenia. Jak widać mocno uprościliśmy problem, a i tak jego opis będzie niezwykle skomplikowany. Jak robią to fizycy? Otóż w układzie takim znajdowana jest energia potencjalna i energia kinetyczna. Energie te zależą od położenia systemu w zmiennych kartezjańskich (np. zdefiniowanych względem punktu zaczepienia) oraz od prędkości systemu. Następnie liczona jest wielkość, którą fizycy nazywają Lagrangianem, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej. Kolejnym krokiem jest otrzymanie równań ruchu wiążących ze sobą przyśpieszenia, prędkości i położenia. Równania te, zakładając jakiś konkretny stan początkowy układu, mogą być rozwiązane numerycznie i dzięki temu zostaje wyznaczona trajektoria ciała (masy zawieszonej na sprężynie) w przestrzeni. Przykładem takich obliczeń jest rysunek poniżej, gdzie sprężynę z masą na jej końcu wychylono z położenia równowagi (pokazane to jest przez poziomy wektor skierowany w prawo), a następnie swobodnie puszczono. Kolejne położenia końca sprężyny (masy) są zaznaczone kropkami (częstość stawiania kropek to 30 na sekundę). Symulacja odpowiada 10 sekundom ruchu. Widać więc, że problem jest mocno nietrywialny.
Obserwacja poczyniona przez zadającego pytanie jest więc raczej przypadkowa (najłatwiej jest mierzyć na oko wychylenie w momencie, gdy wahadło się nie porusza) lub parametry zostały dobrane przypadkowo tak, że przez dłuższy czas stan opisany się utrzyma, a pomiar trwał za krótko (aby wyciągnąć właściwe wnioski). Warto też zwrócić uwagę, że nawet bez wprawiania sprężyny w drgania początkowe i tak jej długość będzie się zmieniać w czasie trwania ruchu wahadłowego. Proszę wziąć sprężynę i zacząć nią kręcić. Wraz ze wzrostem prędkości wzrasta wydłużenie sprężyny. A w ruchu wahadłowym najmniejsza prędkość (zerowa) jest przy maksymalnej amplitudzie.