Processing math: 100%

Jak zakrzywienie czasoprzestrzeni wpływa na ruch ciał?

Pytanie

Pyta Bartosz

Mam pytanie o grawitację w ogólnej teorii względności (OTW). W książkach popularnonaukowych grawitacja w ujęciu OTW jest opisywana jako odchylanie toru ruchu obiektów z powodu zakrzywienia czasoprzestrzeni. Jest to całkiem intuicyjne wyjaśnienie dla obiektów, które są w ruchu, jednak co dzieje się w przypadku ciał będących w spoczynku? Grawitacja opisywana przez równanie Newtona będzie oddziaływać na oba ciała, które zaczną przyspieszać z powodu działających na nie sił. W przypadku OTW nie jest dla mnie jasne w jaki sposób zakrzywienie czasoprzestrzeni miałoby wprawić takie ciała w ruch. Jak ten przypadek należy rozumieć na gruncie OTW?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

W ogólnej teorii względności (OTW) pole grawitacyjne w pierwszym rzędzie modyfikuje („odchyla”) linię świata ciała, a modyfikacja toru jest rzeczą wtórną wynikającą z modyfikacji linii świata.

Przypuśćmy, że wyróżniliśmy pewien układ odniesienia \cal U, który zdarzeniom tworzącym czasoprzestrzeń przypisuje współrzędne (t,x,y,z), gdzie t jest czasem zajścia danego zdarzenia, a (x,y,z) współrzędnymi miejsca, w którym to zdarzenie zaszło.

Linia świata ciała A w układzie \cal U jest opisana jako zbiór punktów czasoprzestrzeni (czyli zdarzeń) o współrzędnych
\{ \ (t,x(t),y(t),z(t)) \ | \ t\in\mathbb{R}\ \},
gdzie funkcja t\mapsto (x(t),y(t),z(t)) opisuje ruch ciała względem rozważanego układu odniesienia.

Tor ruchu ciała A to zbiór punktów przestrzeni o współrzędnych
\{ \ (x(t),y(t),z(t)) \ | \ t\in\mathbb{R}\ \}.

Jeżeli ciało A spoczywa w rozważanym układzie odniesienia to jego linia świata ma postać
\begin{equation} \{ \ (t,x,y,z) \ | \ t\in\mathbb{R}\ \}, \label{ls} \end{equation}
gdzie współrzędne (x,y,z) nie zależą od czasu t. Oznacza to, że w tym przypadku tor ruchu ciała A redukuje się do punktu (x,y,z).

Przypuśćmy teraz, że w pewnej odległości od ciała A umieszczono inne ciało B, którego pole grawitacyjne zaczyna w pewnej chwili t_0 oddziaływać na ciało A. W wyniku tego oddziaływania linia świata \eqref{ls} ciała A zostanie zmodyfikowana — współrzędne (x,y,z), które do tego momentu nie zależały od czasu t zaczynają się zmieniać wraz z jego upływem. Oznacza to, że obserwator związany z układem odniesienia \cal U zaobserwuje, że ciało A, które wcześniej nie zmieniało swojego położenia, od chwili t_0 zaczyna się poruszać.