Strona głównaPytania → 1+2+3+… = -1/12

1+2+3+… = -1/12

Pytanie

Pyta Wojciech

Interesuje mnie jak fizycy (specjaliści od teorii strun) interpretują znany podobnież już Eulerowi związek 1+2+3+… = -1/12. W poważnych opracowaniach dotyczących teorii strun autorzy powołują się na ten związek przywołując jako uzasadnienie funkcję zeta Riemanna $\zeta(z)$. Wiadomo, że $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$, lecz jak to się ma do sumy wszystkich liczb naturalnych?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Wspomniana suma wszystkich liczb naturalnych pojawia się w pewnych współczesnych zagadnieniach fizycznych (w szczególności w kwantowej teorii pola czy też teorii strun), natomiast w matematyce rzeczywiście rozważana była (ściślej rzecz biorąc, pewne jej uogólnienie) przez Eulera już w połowie XVIII wieku. Z matematycznego punktu widzenia suma ta związana jest z tzw. funkcją zeta Riemanna $\zeta(z)$, zdefiniowaną jako

$$ \zeta(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z} = \frac{1}{1^z} + \frac{1}{2^z} + \frac{1}{3^z} +\ldots $$

Powyższa definicja ma sens w przypadku kiedy $z>1$, a nawet bardziej ogólnie, kiedy $z$ jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista jest większa niż 1, Re$z > 1$ — tylko wtedy powyższa suma jest zbieżna (sam Euler rozpatrywał szczególny przypadek, kiedy $z$ jest dodatnią liczbą całkowitą). W przeciwnym wypadku (dla Re$z\leq 1$) powyższa suma jest rozbieżna. Zauważmy jednak, że przypadek którego dotyczy pytanie odpowiada wartości $z=-1$; dla takiej wartości argumentu powyższa suma przyjmuje postać $1+2+3+\ldots$. Jednakże (dla argumentu $z=-1$) taka suma jest rozbieżna. Tym niemniej, z matematycznego punktu widzenia, możliwe jest zdefiniowanie funkcji $\zeta(z)$ dla dowolnej liczby zespolonej $z$ różnej od 1, w taki sposób, że dla Re$z>1$ otrzymujemy wynik zgodny z powyższą sumą, a dla pozostałych $z\neq 1$ (w szczególności $z=-1$) otrzymujemy dobrze zdefiniowane, skończone wartości; procedura taka nazywana jest „przedłużeniem analitycznym”.

Aby zrozumieć czym jest przedłużenie analityczne, warto rozważyć nieco prostszy przykład, związany z dobrze znanym wzorem na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:

$$ 1+z+z^2 +z^3 + \ldots = \frac{1}{1-z}.$$

Powyższa suma jest zbieżna tylko dla $|z|<1$, i tylko wtedy powyższa równość zachodzi. Np. dla $z=\frac{1}{2}$ otrzymujemy związek $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots = 2$, który łatwo sobie intuicyjnie wyobrazić. Natomiast dla $z=2$ powyższa suma przyjmuje postać $1+2+4+8+\ldots$ i jest ona rozbieżna (nieskończona). Tym niemniej, prawa strona powyższego wzoru ma sens dla $z=2$ i w takim przypadku wynosi $-1$. Funkcja $f(z)=\frac{1}{1-z}$ pojawiającą się po prawej stronie powyższego wzoru jest właśnie przedłużeniem analitycznym — na dowolne wartości $z\neq 1$ — sumy po lewej stronie. Zatem w tym przypadku można by powiedzieć — niezupełnie ściśle (tzn. utożsamiając znak równości z operacją przedłużenia analitycznego) — iż $1+2+4+8+\ldots = -1$.

W przypadku funkcji zeta zachodzi sytuacja analogiczna: o ile definicja w postaci szeregu ma sens tylko dla Re$z>1$, to istnieje jej odpowiednie przedłużenie analityczne dla dowolnych $z\neq 1$. W szczególności, przy takim przedłużeniu analitycznym otrzymuje się dobrze zdefiniowaną wartość

$$  \zeta(-1) = -\frac{1}{12}.$$

Niezbyt ściśle można zatem powiedzieć, iż $1+2+3+\ldots=-\frac{1}{12}$, znowuż utożsamiając w tym przypadku znak równości z przedłużeniem analitycznym (funkcji zeta dla argumentu $z=-1$).

Jaki związek powyższe rozważania mają z fizyką? Jednym z najbardziej podstawowych obiektów rozważanych w fizyce jest tzw. oscylator harmoniczny, czyli układ drgający ze stałą częstotliwością $\omega$ (z powodu siły działającej w kierunku stanu równowagi, proporcjonalnej do wychylenia). W mechanice klasycznej przykładem oscylatora harmonicznego jest wahadło (wykonujące drgania o niewielki kąt). Im większe jest wychylenie takiego wahadła tym ma ono większą energię, która przyjmować może dowolne wartości; z kolei jeśli wahadło spoczywa – taki stan możemy nazwać stanem „próżni” – jego energia wynosi zero.

Odpowiednik oscylatora harmonicznego pojawia się też w mechanice kwantowej – jest to tzw. „kwantowy oscylator harmoniczny”. Ma on własności istotnie różne od przypadku „klasycznego” – po pierwsze wartości energii są dyskretne , czyli „skwantowane”; nie mogą one być dowolne, lecz mogą się zmieniać tylko w takich samych „paczkach” wielkości $\hbar \omega$ ($\hbar$ oznacza stałą Plancka). Po drugie, stan „próżni”, czyli kwantowy stan oscylatora o najniższej energii, nie jest stanem o energii zerowej – w takim stanie energia oscylatora wynosi

$$\frac{\hbar \omega}{2}.$$

Od mechaniki kwantowej jest już tylko jeden krok do teorii opisujących cząstki elementarne w przyrodzie, czyli tzw. kwantowych teorii pola. Zgodnie z tymi teoriami (doskonale potwierdzonymi doświadczalnie), cząstki opisywane są przez tzw. pola kwantowe – można o nich myśleć jak o zbiorach (nieskończenie wielu) kwantowych oscylatorów harmonicznych wypełniających całą przestrzeń. W takich teoriach stan próżni odpowiada stanowi, w którym wszystkie te oscylatory są w stanie podstawowym – oznacza to jednak, że energia próżni wynosi nie zero, ale jest sumą minimalnych energii $\frac{\hbar \omega}{2}$ tych wszystkich oscylatorów, czyli formalnie jest równa nieskończoności. Tym niemniej, energii tej bezpośrednio nie można zmierzyć – w pomiarach przejawia się ona tylko poprzez pewien skończony wkład od formalnie nieskończonej wartości. Fizycy opracowali metody tzw. renormalizacji, które pozwalają na usunięcie pojawiających się w rachunkach opisujących różne procesy tego typu nieskończoności, i uzyskanie z tych rachunków skończonych wartości. Jedna z takich metod nazywana jest regularyzacją przy pomocy funkcji zeta, i jej zasadniczym aspektem jest właśnie formuła $1+2+3+\ldots=-\frac{1}{12}$.

Pewien interesujący trick stosowany przez fizyków wygląda następująco. Wyrażenie $\sum_{n=1}^{\infty} n$, można traktować jako przypadek $\epsilon=0$ ogólniejszego wyrażenia $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-\epsilon n}$, które z kolei można przekształcić (i na koniec rozwinąć w szereg odpowiadający mały wartościom $\epsilon$) następująco:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-\epsilon n} = -\frac{d}{d\epsilon} \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\epsilon n} = -\frac{d}{d\epsilon}  (1 – e^{-\epsilon})^{-1} = \frac{1}{\epsilon^2} – \frac{1}{12} + \mathcal{O}(\epsilon)$$

Rozbieżny człon w ostatecznym wyrażeniu $\frac{1}{\epsilon^2}$ w pewnych fizycznych problemach można potraktować jako nieskończony wkład odpowiadający (nieskończonej) energii próżni. Natomiast drugi człon $-\frac{1}{12}$ jest wielkością skończoną, którą przyjmuje się jako istotny wkład wpływający na przebieg pewnych zjawisk. Wkład ten okazuje się być taki sam, jak wcześniej otrzymaliśmy w wyniku przedłużenia analitycznego! Okazuje się, że podobne związki zachodzą bardziej ogólnie, i odpowiednio zregularyzowane nieskończone wartości obliczeń można zastąpić wartościami przedłużenia analitycznego przy pomocy funkcji zeta.

Choć powyższy opis może brzmieć dość abstrakcyjnie, to takie zjawiska rzeczywiście są obserwowane doświadczalnie. Na przykład powyższy rachunek stosuje się przy opisie tzw. efektu Casimira, czyli samoczynnym przyciąganiu nienaładowanych, równolegle względem siebie połozonych płyt, wykonanych z przewodnika. Za ten efekt odpowiedzialna jest właśnie struktura próżni w kwantowej teorii pola, i rzeczywiście takie płyty przyciągają się z siłą obliczoną stosując powyższe wzory.

Analogiczne sytuacje pojawiają się także w teorii strun, która opisuje drgające kwantowe struny. Każda taka struna może drgać na wiele sposobów, czy też tzw. „modów” (nieco podobnie jak „klasyczna” struna w instrumencie strunowym). Stan podstawowy takiej struny odpowiada sytuacji, kiedy wszystkie „mody drgań” są w stanie podstawowym – ponieważ jednak mody takie reprezentowane są przez kwantowe oscylatory, znowuż pojawia się konieczność wykonania nieskończonego sumowania odpowiadających im „energii próżni”, i odpowiedniego zrenormalizowania wyniku.

W szczególności, rachunek tego typu pozawala w teorii strun wyprowadzić wymiar czasoprzestrzeni $D$, w której teoria ta ma sens. Mianowicie, można pokazać, że drgająca struna odpowiada stanowi o masie

$$M^2 = \frac{4}{\alpha’}\big( N+\frac{D-2}{2}\sum_{n=1}^{\infty} n\big),$$

gdzie $\alpha’$ jest pewną stałą, $N$ odpowiada ilości wzbudzonych modów  struny, a nieskończona suma reprezentuje „próżniowe” energie niewzbudzonych oscylatorów. Skądinąd wiadomo, że stan odpowiadający $N=1$ musi mieć masę zero (inaczej teoria nie byłaby konsystentna), $M=0$. Zastępując nieskończoną sumę przez $-\frac{1}{12}$, prowadzi to do warunku

$$ 0 = 1 – \frac{D-2}{24},$$

którego jedynym rozwiązaniem jest $D=26$. Zatem taka wersja teorii strun (tzw. bozonowa teoria strun) jest poprawnie określona jedynie dla 26-wymiarowej czasoprzestrzeni. Z kolei w pewnym uogólnieniu tej teorii, czyli tzw. teorii superstrun, analogiczny rachunek prowadzi do wniosku, iż wymiar czasoprzestrzeni musi być równy $D=10$.