Strona głównaPytania → Co oznacza odwrócony znaczek delty...

Co oznacza odwrócony znaczek delty w równaniu Schrödingera?

Pytanie

Pyta Konrad

Co oznacza odwrócony znaczek delty w równaniu Schrödingera opisującym elektron?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Odwrócony znaczek delty, czyli $\nabla$, to tzw. nabla. Jest to tzw. operator różniczkowy, który w kartezjańskim układzie współrzędnych przyjmuje postać

\[
\nabla=\left[\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{array}\right]
\]

Można ten obiekt traktować jako wektor, którego składowe to operatory różniczkowania po kolejnych współrzędnych. Operator ten ma sens, jeśli rzeczywiście „operuje”, czyli działa na inne obiekty, które można różniczkować — czyli np. na funkcje, które zależą od współrzędnych. Np. dla funkcji $f=f(x,y,z)$, z definicji

\[
\nabla f(x,y,z) = \left[ \begin{array}{c}
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} \\
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} \\
\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}
\end{array}\right]
\]

co jest w istocie operacją gradientu. W takim kontekście funkcję $f$ nazywa się często polem skalarnym.

Można też rozważać bardziej skomplikowane funkcje, zwane polami wektorowymi, które same mają tyle składowych, ile wynosi wymiar przestrzeni

\[
\vec{F}(x,y,z) = \left[ \begin{array}{c}
F_1(x,y,z) \\
F_2(x,y,z) \\
F_3(x,y,z)
\end{array}\right]
\]

W takim przypadku działanie operatora nabla oznacza się analogicznie jak iloczyn skalarny dwóch wektorów, i w wyniku tego działania z powyższego pola wektorowego otrzymujemy pole skalarne, zwane dywergencją, postaci (we współrzędnych kartezjańskich)

\[
\nabla\cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x} +\frac{\partial F_2(x,y,z)}{\partial y} +\frac{\partial F_3(x,y,z)}{\partial z}.
\]

Możemy wreszcie wziąć iloczyn skalarny $\nabla$ ze sobą — otrzymujemy wtedy operator różniczkowy zwany laplasjanem

\[
\Delta = \nabla\cdot \nabla = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
\]

Operator ten jest w istocie dywergencją gradientu; działając na funkcję (pole skalarne) produkuje on inną funkcję, która w kratezjańskich współrzędnych ma postać

\[
\Delta f(x,y,z) = \nabla^2 f(x,y,z) = \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2}.
\]

Właśnie w ten sposób (czyli w kwadracie) operator nabla pojawia się w równaniu Schrödingera, tzn. reprezentuje on laplasjan. Równanie Schroedingera można zapisać w postaci

\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(x,y,z,t)\psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}.
\]

W równaniu tym $\psi=\psi(x,y,z,t)$ jest tzw. funkcją falową, która opisuje zachowanie jakiegoś obiektu (np. elektronu); znając tę funkcję można np. obliczyć prawdopodobieństwo wykrycia takiego elektronu w jakimś obszarze w przestrzeni. $V(x,y,z,t)$ jest tzw. potencjałem, i reprezentuje warunki fizyczne w jakich znajduje się taki elektron. Rozwiązując powyższe równanie można funkcję $\psi$ wyznaczyć — tzn. funkcja ta musi być takiej postaci, by jej laplasjan (po lewej stronie równania), po dodaniu do niego członu $V(x,y,z,t)\psi$, równy był pochodnej po czasie tej samej funkcji.

Operator nabla w oczywisty sposób można uogólnić do dowolnej liczby wymiarów — we współrzędnych kartezjańskich będzie on miał wtedy tyle składowych, ile wynosi wymiar przestrzeni.