Zacznijmy od podstaw, czyli od transformacji Lorentza. Przyjmijmy, że dane są dwa inercjalne układy odniesienia ${\cal U}$ oraz $\cal U’$, którymi posługują się obserwatorzy, odpowiednio, $\cal O$ i $\cal O’$. Posługując się swoim układem $\cal U$ obserwator $\cal O$ przypisuje zdarzeniom tworzącym czasoprzestrzeń współrzędne $(t,x,y,z)$, gdzie $t$ jest czasem, w którym zachodzi dane zdarzenie, a $(x,y,z)$ współrzędnymi miejsca, w którym to zdarzenie zachodzi — współrzędne te mierzone są przez zegary i linijki tworzące układ odniesienia $\cal U$. Drugi obserwator $\cal O’$ przypisuje zdarzeniom współrzędne $(t’,x’,y’,z’)$ o analogicznej interpretacji. Jeżeli założymy, że przestrzenne osie obu układów są równoległe i że prędkość układu $\cal U’$ względem $\cal U$ jest wektorem o kierunku osi $OX$ i składowej $v$, to wartości współrzędnych ustalonego zdarzenia $Z$ są powiązane następującą transformacją Lorentza:
\begin{equation}
\begin{aligned}
t’&=\gamma(t-vx), & x’&=\gamma(x-vt),\\
y’&=y, & z’&=z
\end{aligned}
\label{tr-lor}
\end{equation}
gdzie
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}
\]
(wzory te obowiązują w sytuacji, gdy czas mierzymy w metrach, tzn. $1$ metr czasu jest to czas, w jakim światło poruszające się w próżni przebywa drogę $1$ metra — w tych jednostkach każda prędkość jest wielkością bezwymiarową, prędkość światła $c$ ma wartość $1$, a prędkość $v$ jest większa od $-1$ i mniejsza od $1$.)

Ustalmy teraz parę zdarzeń $Z_1$ i $Z_2$. Obserwator $\cal O$ przypisuje tym zdarzeniom współrzędne, odpowiednio,
\begin{align*}
&(t_1,x_1,y_1,z_1), &&(t_2,x_2,y_2,z_2),
\end{align*}
zaś obserwator $\cal O’$ — współrzędne
\begin{align*}
&(t’_1,x’_1,y’_1,z’_1), &&(t’_2,x’_2,y’_2,z’_2).
\end{align*}
Dla wygody dalszych rozważań wprowadzimy symbole oznaczające różnice pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi zdarzeń $Z_1,Z_2$:
\begin{align*}
\Delta t&=t_2-t_1, & \Delta x&=x_2-x_1, & \Delta y&=y_2-y_1, & \Delta z&=z_2-z_1, \\
\Delta t’&=t’_2-t’_1, & \Delta x’&=x’_2-x’_1, & \Delta y’&=y’_2-y’_1, & \Delta z’&=z’_2-z’_1.
\end{align*}
Z transformacji Lorentza \eqref{tr-lor} wynika, że powyższe różnice spełniaja następujące zależności:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Delta t’&=\gamma(\Delta t-v\Delta x), & \Delta x’&=\gamma(\Delta x-v\Delta t),\\
\Delta y’&=\Delta y, & \Delta z’&=\Delta z.
\end{aligned}
\label{tr-lor-D}
\end{equation}

Z punktu widzenia obserwatora $\cal O$ odległość $\Delta L$ pomiędzy zdarzeniami $Z_1,Z_2$ czyli pomiędzy miejscem $(x_1,y_1,z_1)$ zachodzenia zdarzenia $Z_1$ a miejscem $(x_2,y_2,z_2)$ zachodzenia zdarzenia $Z_2$ wynosi
\begin{equation}
\Delta L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
\label{L}
\end{equation}
Obserwator ${\cal O}’$ odległość $L’$ między tymi samymi zdarzeniami opisze jako
\[
\Delta L’=\sqrt{(\Delta x’)^2+(\Delta y’)^2+(\Delta z’)^2}.
\]
Podstawiając wyrażenia \eqref{tr-lor-D} do powyższego wzoru otrzymujemy
\begin{equation}
\Delta L’=\sqrt{\gamma^2(\Delta x-v\Delta t)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
\label{L’}
\end{equation}

Z porównania wzorów \eqref{L} i \eqref{L’} wynika, że $\Delta L\neq \Delta L’$, czyli że w ogólności odległość pomiędzy parą ustalonych zdarzeń widziana przez jednego obserwatora jest różna od odległości pomiędzy tymi samymi zdarzeniami widzianej przez innego obserwatora. Co więcej, nie ma tu znaczenia, czy te dwa zdarzenia wyznaczają odcinek (drogę), po jakim porusza się ten czy inny obiekt, czy też wyznaczają przeciwległe końce jakiegoś obiektu (np. statku kosmicznego, pręta etc.).

Powyższa konkluzja dotyczy również skrócenia Lorentza, które ma miejsce w przypadku szczególnej pary zdarzeń $Z_1,Z_2$, dla której w układzie $\cal U$ zachodzi $\Delta t = \Delta y= \Delta z =0$. Zauważmy, że podstawienie tych wartości do wzoru \eqref{L’} daje znaną zależność
\begin{equation}
\Delta L’ =\gamma\Delta L.
\label{skr-L}
\end{equation}
Dla niezerowej prędkości $v$ współczynnik $\gamma$ jest większy od $1$ i w konsekwencji odległość $\Delta L’$ jest większa od odległości $\Delta L$.

Na zakończenie warto może jeszcze opisać, jak powyższe skrócenie Lorentza przenosi się na skrócenie Lorentza ciała fizycznego np. pręta. Przyjmijmy, że pręt spoczywa względem obsewrwatora ${\cal O}’$ w położeniu równoległym do osi $OX’$. Tym samym z punktu widzenia obserwatora ${\cal O}$ pręt jest ustawiony równolegle do osi $OX$ i porusza się z prędkością $v$ w kierunku tej osi. Obserwator $\cal O$ chcąc zmierzyć długość pręta musi ze względu na jego ruch zmierzyć położenie końców pręta w tej samej chwili $t$. Oznacza to, że obserwator ten musi dokonać pomiaru położenia dwóch zdarzeń $Z_1,Z_2$ jednoczesnych z jego punktu widzenia i zachodzących na przeciwległych końcach pręta — odległość $\Delta L$ pomiędzy tymi zdarzeniami będzie wtedy długością pręta mierzoną przez obserwatora $\cal O$. Z punktu widzenia obserwatora ${\cal O}’$ zdarzenia $Z_1,Z_2$ nie są jednoczesne, ale ponieważ pręt pozostaje w spoczynku względem niego, odległość $\Delta L’$ pomiędzy tymi zdarzeniami będzie równa długości pręta widzianej przez tego obserwatora.

Zauważmy teraz, że skoro zdarzenia $Z_1,Z_2$ są jednoczesne z punktu widzenia obserwatora $\cal O$, to $\Delta t=0$, a skoro zachodzą na końcach pręta równoległego do osi $OX$, to $\Delta y=\Delta z=0$. Zatem w tej sytuacji obowiązuje zależność \eqref{skr-L}, która oznacza teraz, że długość $\Delta L$ pręta mierzona przez obserwatora $\cal O$, względem którego pręt się porusza, jest mniejsza od długości $\Delta L’$ pręta mierzonej przez obserwatora ${\cal O}’$, względem którego pręt spoczywa.