Strona głównaPytania → Co się skraca przy skróceniu...

Co się skraca przy skróceniu Lorentza?

Pytanie

Pyta Michał

Moje pytanie najkrócej należałoby sformułować chyba tak: czy skrócenie Lorentza dotyczy jedynie OBIEKTU poruszającego się z prędkością bliską $c$, czy też skraca się również sama odległość / droga prowadząca z punktu A do punktu B? Moje pytanie bierze się z pewnych wątpliwości dotyczących tego artykułu: http://nietuzinkowyblognaukowy.blogspot.com/2012/05/relatywistyczny-zawrot-gowy.html
Autor stwierdza w nim następującą rzecz: „Okazuje się, że jeśli wyślemy statek z misją dotarcia do planety, położonej 700 milionów lat świetlnych od Ziemi i nadamy statkowi prędkość 99,99999999999999% $c$, to na Ziemi minie owszem 700 milionów lat… ALE NIE NA STATKU! Na statku minie zaledwie 10 lat!!! Załoga statku kosmicznego, pokona tę monstrualną odległość w ciągu zaledwie 10 lat swojego życia. Jak to możliwe ? Jak statek mógł pokonać 700 milionów lat świetlnych w ciągu 10 lat, skoro poruszał się WOLNIEJ niż światło?! Odpowiedzią na ten niezwykły paradoks jest kolejna z konsekwencji Teorii Względności. Okazuje się, że nie tylko czas jest względny. Względne są także odległości. Im szybciej porusza się statek, tym bardziej skraca się odległość odcinka po którym się porusza. Oczywiście nie powoduje to żadnych fizycznych napięć w przestrzeni — skrócenie odległości obserwowane jest wyłącznie dla załogi statku. Skrócenie to nazywa się skróceniem Lorentza.”

Z tego, co udało mi się znaleźć w internecie, skrócenie Lorentza skraca rozmiary samego statku, nie zaś „odcinka, po którym się porusza”. Z naszej perspektywy światło potrzebuje 8 minut, by dotrzeć ze Słońca na Ziemię. Biorąc pod uwagę to, co napisał autor powyżej, gdybyśmy poruszali się z prędkością 99,99% $c$ ze Słońca na Ziemię, to pokonalibyśmy tę odległość w krócej niż 8 minut z powodu skrócenia Lorentza. Mam ponadto poczucie, że gdyby autor miał rację, to fakt taki szybko przyjąłby się do powszechnej świadomości, natomiast nadal bardzo popularne jest przekonanie, że 1 rok świetlny dla statku poruszającego się z prędkością $c$, to po prostu 1 rok czasu dla tego statku.

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Zacznijmy od podstaw, czyli od transformacji Lorentza. Przyjmijmy, że dane są dwa inercjalne układy odniesienia ${\cal U}$ oraz $\cal U’$, którymi posługują się obserwatorzy, odpowiednio, $\cal O$ i $\cal O’$. Posługując się swoim układem $\cal U$ obserwator $\cal O$ przypisuje zdarzeniom tworzącym czasoprzestrzeń współrzędne $(t,x,y,z)$, gdzie $t$ jest czasem, w którym zachodzi dane zdarzenie, a $(x,y,z)$ współrzędnymi miejsca, w którym to zdarzenie zachodzi — współrzędne te mierzone są przez zegary i linijki tworzące układ odniesienia $\cal U$. Drugi obserwator $\cal O’$ przypisuje zdarzeniom współrzędne $(t’,x’,y’,z’)$ o analogicznej interpretacji. Jeżeli założymy, że przestrzenne osie obu układów są równoległe i że prędkość układu $\cal U’$ względem $\cal U$ jest wektorem o kierunku osi $OX$ i składowej $v$, to wartości współrzędnych ustalonego zdarzenia $Z$ są powiązane następującą transformacją Lorentza:
\begin{equation}
\begin{aligned}
t’&=\gamma(t-vx), & x’&=\gamma(x-vt),\\
y’&=y, & z’&=z
\end{aligned}
\label{tr-lor}
\end{equation}
gdzie
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}
\]
(wzory te obowiązują w sytuacji, gdy czas mierzymy w metrach, tzn. $1$ metr czasu jest to czas, w jakim światło poruszające się w próżni przebywa drogę $1$ metra — w tych jednostkach każda prędkość jest wielkością bezwymiarową, prędkość światła $c$ ma wartość $1$, a prędkość $v$ jest większa od $-1$ i mniejsza od $1$.)

Ustalmy teraz parę zdarzeń $Z_1$ i $Z_2$. Obserwator $\cal O$ przypisuje tym zdarzeniom współrzędne, odpowiednio,
\begin{align*}
&(t_1,x_1,y_1,z_1), &&(t_2,x_2,y_2,z_2),
\end{align*}
zaś obserwator $\cal O’$ — współrzędne
\begin{align*}
&(t’_1,x’_1,y’_1,z’_1), &&(t’_2,x’_2,y’_2,z’_2).
\end{align*}
Dla wygody dalszych rozważań wprowadzimy symbole oznaczające różnice pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi zdarzeń $Z_1,Z_2$:
\begin{align*}
\Delta t&=t_2-t_1, & \Delta x&=x_2-x_1, & \Delta y&=y_2-y_1, & \Delta z&=z_2-z_1, \\
\Delta t’&=t’_2-t’_1, & \Delta x’&=x’_2-x’_1, & \Delta y’&=y’_2-y’_1, & \Delta z’&=z’_2-z’_1.
\end{align*}
Z transformacji Lorentza \eqref{tr-lor} wynika, że powyższe różnice spełniaja następujące zależności:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Delta t’&=\gamma(\Delta t-v\Delta x), & \Delta x’&=\gamma(\Delta x-v\Delta t),\\
\Delta y’&=\Delta y, & \Delta z’&=\Delta z.
\end{aligned}
\label{tr-lor-D}
\end{equation}

Z punktu widzenia obserwatora $\cal O$ odległość $\Delta L$ pomiędzy zdarzeniami $Z_1,Z_2$ czyli pomiędzy miejscem $(x_1,y_1,z_1)$ zachodzenia zdarzenia $Z_1$ a miejscem $(x_2,y_2,z_2)$ zachodzenia zdarzenia $Z_2$ wynosi
\begin{equation}
\Delta L=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
\label{L}
\end{equation}
Obserwator ${\cal O}’$ odległość $L’$ między tymi samymi zdarzeniami opisze jako
\[
\Delta L’=\sqrt{(\Delta x’)^2+(\Delta y’)^2+(\Delta z’)^2}.
\]
Podstawiając wyrażenia \eqref{tr-lor-D} do powyższego wzoru otrzymujemy
\begin{equation}
\Delta L’=\sqrt{\gamma^2(\Delta x-v\Delta t)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}.
\label{L’}
\end{equation}

Z porównania wzorów \eqref{L} i \eqref{L’} wynika, że $\Delta L\neq \Delta L’$, czyli że w ogólności odległość pomiędzy parą ustalonych zdarzeń widziana przez jednego obserwatora jest różna od odległości pomiędzy tymi samymi zdarzeniami widzianej przez innego obserwatora. Co więcej, nie ma tu znaczenia, czy te dwa zdarzenia wyznaczają odcinek (drogę), po jakim porusza się ten czy inny obiekt, czy też wyznaczają przeciwległe końce jakiegoś obiektu (np. statku kosmicznego, pręta etc.).

Powyższa konkluzja dotyczy również skrócenia Lorentza, które ma miejsce w przypadku szczególnej pary zdarzeń $Z_1,Z_2$, dla której w układzie $\cal U$ zachodzi $\Delta t = \Delta y= \Delta z =0$. Zauważmy, że podstawienie tych wartości do wzoru \eqref{L’} daje znaną zależność
\begin{equation}
\Delta L’ =\gamma\Delta L.
\label{skr-L}
\end{equation}
Dla niezerowej prędkości $v$ współczynnik $\gamma$ jest większy od $1$ i w konsekwencji odległość $\Delta L’$ jest większa od odległości $\Delta L$.

Na zakończenie warto może jeszcze opisać, jak powyższe skrócenie Lorentza przenosi się na skrócenie Lorentza ciała fizycznego np. pręta. Przyjmijmy, że pręt spoczywa względem obsewrwatora ${\cal O}’$ w położeniu równoległym do osi $OX’$. Tym samym z punktu widzenia obserwatora ${\cal O}$ pręt jest ustawiony równolegle do osi $OX$ i porusza się z prędkością $v$ w kierunku tej osi. Obserwator $\cal O$ chcąc zmierzyć długość pręta musi ze względu na jego ruch zmierzyć położenie końców pręta w tej samej chwili $t$. Oznacza to, że obserwator ten musi dokonać pomiaru położenia dwóch zdarzeń $Z_1,Z_2$ jednoczesnych z jego punktu widzenia i zachodzących na przeciwległych końcach pręta — odległość $\Delta L$ pomiędzy tymi zdarzeniami będzie wtedy długością pręta mierzoną przez obserwatora $\cal O$. Z punktu widzenia obserwatora ${\cal O}’$ zdarzenia $Z_1,Z_2$ nie są jednoczesne, ale ponieważ pręt pozostaje w spoczynku względem niego, odległość $\Delta L’$ pomiędzy tymi zdarzeniami będzie równa długości pręta widzianej przez tego obserwatora.

Zauważmy teraz, że skoro zdarzenia $Z_1,Z_2$ są jednoczesne z punktu widzenia obserwatora $\cal O$, to $\Delta t=0$, a skoro zachodzą na końcach pręta równoległego do osi $OX$, to $\Delta y=\Delta z=0$. Zatem w tej sytuacji obowiązuje zależność \eqref{skr-L}, która oznacza teraz, że długość $\Delta L$ pręta mierzona przez obserwatora $\cal O$, względem którego pręt się porusza, jest mniejsza od długości $\Delta L’$ pręta mierzonej przez obserwatora ${\cal O}’$, względem którego pręt spoczywa.