Strona głównaPytania → Co znaczy określenie „teoria z...

Co znaczy określenie „teoria z cechowaniem”?

Pytanie

Pyta tomek

Chciałbym zapytać co znaczy określenie „z cechowaniem” w zdaniu „kwantowa teoria pola (z cechowaniem)”?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

W fizyce termin „cechowanie” odnosi się do sytuacji, w której teoretyczny (matematyczny) opis danego układu uwzględnia pewne wielkości lub parametry, które w istocie nie mają rzeczywistego, fizycznego znaczenia, tzn. nie można ich zmierzyć. Niemniej jednak użycie takich parametrów z różnych powodów opis teoretyczny upraszcza, lub też ujawnia pewne własności danego układu. Z tego powodu wartość takich parametrów można wybrać na różne sposoby, i każdy taki wybór opisuje ten sam fizyczny układ – dokonanie takiego wyboru określane jest jako „wybór cechowania”.

Prostym przykładem sytuacji opisanej w poprzednim paragrafie jest opis energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi, przy założeniu, że masa badanego ciała $m$ jest zaniedbywalna w stosunku do masy Ziemi. Energia takiego obiektu dana jest dobrze znanym wzorem

$$
E = mgh,
$$

gdzie $g$ to przyspieszenie ziemskie, natomiast $h$ to wysokość na której umieszczone jest ciało. Istotne jest to, że poziom od którego mierzymy taką wysokość można wybrać w dowolny sposób – można ją mierzyć od poziomu morza, od poziomu ziemi w danym miejscu, od poziomu podłogi na danym piętrze budynku na którym wykonujemy doświadczenie, itp. Wyboru takiego poziomu odniesienia trzeba dokonać by opisywać dany układ, czy też porównywać energie różnych obiektów – natomiast wyboru takiego można dokonywać na różne sposoby, z których każdy jest uprawniony, i nie ma fizycznego znaczenia. Fizyczne znaczenia – czyli coś, co możemy rzeczywiście zmierzyć – ma praca którą wykonujemy nad danym obiektem, np. podnosząc go z wysokości $h_1$ na wysokość $h_2$; praca ta jest równa różnicy energii potencjalnych na tych dwóch poziomach

$$
W = mgh_2 – mgh_1 = mg (h_2 – h_1),
$$

i zależy tylko od różnicy wysokości $(h_2-h_1)$; a różnica ta nie zależy od wyboru poziomu, od którego wysokość wyznaczamy. Zatem wybór takiego poziomu odniesienia (od którego liczymy wysokość) jest bardzo prostym przykładem wyboru cechowania – trzeba go dokonać by móc matematycznie opisać dany układ fizyczny, ale ostatecznie mierzalne wielkości w tym układzie od tego wyboru nie zależą.

Inny ważny przykład cechowania pojawia się w elektrodynamice (teorii Maxwella) i związany jest z wyborem tzw. potencjału (skalarnego) $\phi$. W szczególności, gdy w danym układzie występuje tylko pole elektryczne $\vec{E}$ (bez magnetycznego), to można wyrazić je jako gradient potencjału $\phi$

$$
\vec{E} = -\textrm{grad}\,\phi = (-\partial_x \phi,-\partial_y \phi, -\partial_z \phi).
$$

Gradient, oznaczany jako $grad$, jest odpowiednikiem pochodnej w trzech wymiarach; przekształca on funkcję $\phi$, różniczkując ją kolejno po współrzędnych przestrzennych $x$, $y$, oraz $z$, w pole wektorowe $\vec{E}$. Takie różniczkowanie powoduje, że potencjał $\phi$ jest zdefiniowany z dokładnością do stałej – dodanie dowolnej stałej do $\phi$ nie zmienia wartości pola elektrycznego, które jest wielkością fizycznie mierzalną.

W ogólności w elektrodynamice rozważać można równocześnie nietrywialne pole elektryczne $\vec{E}$ oraz magnetyczne $\vec{B}$. W takim wypadku, niezależnie od potencjału skalarnego $\phi$, wprowadzić można potencjał wektorowy $\vec{A}$, i w ogólności pole elektryczne oraz magnetyczne można wyrazić jako

$$
\vec{E} = -\textrm{grad}\,\phi \,- \frac{\partial \vec{A}}{\partial t},\qquad\qquad \vec{B} = \textrm{rot}\vec{A}
$$

(gdzie $rot$ oznacza operację rotacji, także będącą pewnym uogólnieniem różniczkowania). Podobnie jak wyżej, potencjały $\phi$ oraz $\vec{A}$ można wybierać na wiele różnych sposobów, które odpowiadają tym samym mierzalnym wartościom pola elektrycznego i magnetycznego. Na potencjały $\phi$ i $\vec{A}$ można też zatem narzucić pewne dodatkowe warunki, co określa się jako wybór cechownia. Z kolei transformacje (przekształcenia) potencjałów, które nie zmieniają wartości pól $\vec{E}$ oraz $\vec{B}$, nazywane są transformacjami cechowania.

Wspomniana wyżej elektrodynamika (czyli teoria Maxwella) ma też kwantową wersję, określaną jako elektrodynamika kwantowa. W tej teorii potencjały $\phi$ oraz $\vec{A}$ opisują kwanty pola elektromagnetycznego, czyli fotony; bardziej ogólnie, zwane są też one bozonami cechowania. Istnieją też teorie będące uogólnieniami teorii Maxwella, zwane teoriami Yanga-Millsa, w których występuje większa ilość potencjałów – i wszystkie te teorie nazywane są teoriami z cechowaniem. Na poziomie kwantowym potencjały w tych teoriach opisują cząstki (których jest więcej) także zwane bozonami cechowania, analogiczne do fotonów w elektrodynamice kwantowej. Takie właśnie teorie z cechowaniem są podstawą Modelu Standardowego, opisującego znane nam cząstki elementarne. Jedną z tych teorii (wchodzi ona w skład Modelu Standardowego, ale można ją rozpatrywać samą w sobie) jest chromodynamika kwantowa – w tej teorii istnieje 8 bozonów cechowania zwanych gluonami, które uogólniają znany z elektrodynamiki foton, i które są odpowiedzialne za przenoszenie tzw. oddziaływań silnych. Inna teoria z cechowaniem będąca uogólnieniem elektrodynamiki i wchodząca w skład Modelu Standardowego to teoria oddziaływań elektrosłabych, w której występują 3 bozony cechowania, zwane bozonami W$^+$, W$^-$, oraz Z, które odpowiedzialne są za przenoszenie oddziaływań słabych (odpowiedzianych np. za rozpad beta).

Fizycy rozpatrują także bardziej złożone modele teorii z cechowaniem, w skład których mogłoby wchodzić więcej bozonów cechowania. Modele takie są podstawą różnych teorii wielkiej unifikacji.