Problem postawiony w pytaniu nie jest sformułowany najpoprawniej chociażby z tego powodu, że składowe $g_{ab}$ tensora metrycznego w ustalonym układzie współrzędnych traktowane są jak sam tensor metryczny. Ponadto na ogólnej rozmaitości nie ma możliwości wyróżnienia prostoliniowych układów współrzędnych (i dlatego w ogólnym przypadku nie używa się określenia „krzywoliniowy układ współrzędnych” tylko po prostu „układ współrzędnych”). Pozwolę więc sobie przeformułować ten problem, co będzie okazją do zaprezentowania definicji tensora metrycznego, która nie odwołuje się do jakiegokolwiek układu współrzędnych.

Zacznijmy od zdefiniowania iloczynu skalarnego. Niech $\gamma$ będzie odwzorowaniem, które każdej parze $(v,v’)$ wektorów ze (skończenie wymiarowej) przestrzeni wektorowej $V$ przyporządkowuje liczbę rzeczywistą $\gamma(v,v’)$. Owzorowanie to nazywamy iloczynem skalarnym na $V$, jeżeli jest ono

• symetryczne tzn. dla każdej pary wektorów
  \[
  \gamma(v,v’)=\gamma(v’,v);
  \]
• liniowe w pierwszym argumencie tzn. dla każdych wektorów $v_1,v_2,v’$ i liczb $a_1,a_2$
  \[
  \gamma(a_1v_a+a_2v_2,v’)=a_1\gamma(v_1,v’) +a_2\gamma(v_2,v’);
  \]
• niezdegenerowane, tzn. że jeżeli dla każdego wektora $v$ zachodzi $\gamma(v,v’)=0$, to $v’=0$.

(Z symetrii i liniowości iloczynu skalarnego w pierwszym argumencie wynika, że jest on liniowy również w drugim argumencie).

Oznaczmy przez $n$ wymiar przestrzeni $V$. Bazę $(e_1,\ldots,e_n)$ przestrzeni $V$ nazywa się ortonormalną (względem iloczynu $\gamma$) jeżeli
\begin{equation}
\gamma(e_a,e_b)=
\begin{cases}
\pm 1 & \text{gdy $a=b$ }\\
0& \text{gdy $a\neq b$ }
\end{cases}.
\label{gmunu}
\end{equation}
Dowodzi się, że dla każdego iloczynu skalarnego $\gamma$

• istnieje nieskończenie wiele baz ortonormalnych;
• liczba $q$ wektorów w bazie ortonormalnej $(e_1,\ldots, e_n)$, dla których $\gamma(e_a,e_a)=-1$ nie zależy od bazy, a zatem jest liczbą charakteryzującą iloczyn $\gamma$.

Liczbę $q$ nazywa się sygnaturą iloczynu skalarnego $\gamma$.

Na każdej przestrzeni wektorowej $V$ (o niezerowym wymiarze) istnieje nieskończenie wiele iloczynów skalarnych o ustalonej sygnaturze $q$.

Przykład: niech $V=\mathbb{R}^2$ oraz niech
\begin{align*}
v&=\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}, &
v’&=\begin{pmatrix}
x’\\y’
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Wtedy
\[
\gamma(v,v’):=xx’+\sqrt{2}(xy’+yx’)+yy’
\]
jest iloczynem skalarnym na $\mathbb{R}^2$ o sygnaturze $1$. Przykładem bazy przestrzeni $\mathbb{R}^2$ ortonormalnej względem tego iloczynu jest para wektorów
\begin{align*}
e_1&=\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}, &
e_2&=\begin{pmatrix}
\sqrt{2}\\-1
\end{pmatrix},
\end{align*}
dla której
\begin{align*}
\gamma(e_1,e_1)&=1, & \gamma(e_2,e_2)&=-1.
\end{align*}

W ogólnej teorii względności (OTW) zbiór zdarzeń, będący jednym z elementów składowych czasoprzestrzeni, modelowany jest za pomocą tzw. rozmaitości różniczkowalnej — mówiąc najogólniej rozmaitość różniczkowalna jest to zbiór wyposażony w pewną dodatkową strukturę, która umożliwia różniczkowanie funkcji określonych na tym zbiorze. Ta dodatkowa struktura pozwala również przypisać każdemu punktowi rozmaitości przestrzeń wektorową, którą nazywa się przestrzenią styczną do rozmaitości w (danym) punkcie (elementy tej przestrzeni to wektory styczne do rozmaitości w (danym) punkcie). Jeżeli rozmaitość oznaczymy np. symbolem $M$, to przestrzeń styczna do niej w punkcie $p$ będzie standardowo oznaczana symbolem $T_p M$.

W tym momencie jesteśmy już gotowi do zdefiniowania tensora metrycznego na rozmaitości $M$:

Tensor metryczny (lub metryka) o sygnaturze $q$ na rozmaitości $M$ jest to odwzorowanie $g$, którego dziedziną jest rozmaitość $M$ i które każdemu punktowi $p\in M$ przyporządkowuje iloczyn skalarny $g_p$ na przestrzeni stycznej $T_pM$ o sygnaturze $q$.

OTW używa do opisu geometrii zbioru zdarzeń i jednocześnie pola grawitacyjnego metryk lorentzowskich na czterowymiarowych rozmaitościach — w tym wypadku metryka lorentzowska oznacza metrykę o sygnaturze $1$ lub $3$ (wybór pomiędzy jedną i drugą sygnaturą jest tu kwestią tylko i wyłącznie konwencji i nie ma znaczenia fizycznego).

Parę $(M,g)$ złożoną z czterowymiarowej rozmaitości $M$ i metryki lorentzowskiej $g$ na $M$, nazywa się w OTW czasoprzestrzenią.

Po to, aby poprawnie sformułować problem postawiony w pytaniu potrzebujemy jeszcze zdefiniować składowe metryki w danym układzie współrzędnych. Przypuśćmy więc, że $(x^i)$ jest układem współrzędnych określonym na podzbiorze $U$ rozmaitości $M$. Ustalmy punkt $p\in U$ i wyobraźmy sobie przechodzące przez ten punkt linie tworzące siatkę współrzędnych $(x^i)$. Każda z tych linii definiuje wektor styczny do rozmaitości w punkcie $p$, a więc element przestrzeni stycznej $T_p M$. Wektor styczny definiowany przez linię, wzdłuż której zmienia się współrzędna $x^a$ (a wartość pozostałych współrzędnych pozostaje stała) oznaczymy symbolem $\partial_{a}$.

Niech $g$ będzie metryką na rozmaitości $M$. Składowymi metryki $g$ w punkcie $p$ zadanymi przez układ współrzędnych $(x^i)$ nazywamy wartości
\[
g_p(\partial_{a},\partial_{b}).
\]
iloczynu skalarnego $g_p$ na wszystkich parach wektorów $(\partial_a,\partial_b)$.

Ustalmy wartości wskaźników $a,b$. Możemy teraz każdemu punktowi $p\in U$ przyporządkować składową metryki w tym punkcie zadaną przez wektory $\partial_{a},\partial_{b}\in T_p M$ — w ten sposób otrzymamy funkcję na zbiorze $U$ oznaczaną symbolem $g_{ab}$ i zwaną składową metryki $g$ w układzie współrzędnych $(x^i)$.

I wreszcie interesujący nas problem może zostać poprawnie sformułowany:

Czy dla każdej metryki $g$ na rozmaitości $M$ na otoczeniu każdego punktu tej rozmaitości istnieje taki układ współrzędnych $(x^i)$, że składowe $g_{ab}$ metryki w tym układzie są funkcjami stałymi o wartościach
\[
g_{ab}=
\begin{cases}
\pm 1 & \text{gdy $a=b$ }\\
0& \text{gdy $a\neq b$ }
\end{cases}?
\]

Odpowiedź na to pytanie jest znana i brzmi: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy tzw. tensor krzywizny Riemanna zadany przez metrykę $g$ ma wartość zero w każdym punkcie rozmaitości.

Tensor krzywizny Riemanna jest dość skomplikowanym obiektem — jego składowe są utworzone ze składowych metryki $g$ oraz z ich pierwszych i drugich pochodnych. Dla większości metryk ma on niezerowe wartości co oznacza, że dla większości metryk nie da się znaleźć układów współrzędnych o opisanych powyżej własnościach.