Strona głównaPytania → Czy fale grawitacyjne interferują?

Czy fale grawitacyjne interferują?

Pytanie

Pyta Błażej

Ostatnio nurtuje mnie pewna kwestia dotycząca fal grawitacyjnych. Jak wiadomo, wszystkie inne fale interferują wzajemnie – a co z falami czasoprzestrzeni (grawitacyjnymi)? Czy one również interferują? Jeśli tak, to czy wygląda to tak samo jak interferencja fal elektromagnetycznych?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Można powiedzieć, że fale grawitacyjne interferują, pod warunkiem, że interferencję rozumiemy dostatecznie ogólnie, tzn. nie tylko jako proste sumowanie się amplitud fal.

Wyobraźmy sobie, że ruch materii w pewnym niewielkim obszarze $A$ (poza którym materii nie ma) generuje fale grawitacyjne – może to być np. ruch dwóch gwiazd neutronowych wokół siebie. Ogólna teoria względności opisze te fale za pomocą pola $g_A$ określonego na czasoprzestrzeni i zwanego metryką. Wyobraźmy sobie teraz, że w obszarze $A$ nie ma materii, lecz ruch materii w innym obszarze $B$ tworzy falę opisaną metryką $g_B$. I wreszcie, wyobraźmy sobie, że mamy do czynienia z ruchem materii w obszarze $A$ oraz w obszarze $B$, wytwarzającym fale grawitacyjne opisane za pomocą metryki $g_{AB}$.

Intuicyjnie jest jasne, że metryka $g_{AB}$ będzie różna zarówno od metryki $g_A$, jak i metryki $g_B$. Ten fakt możemy zinterpretować mówiąc, że fala $g_A$ po „uruchomieniu” materii w obszarze $B$ zostaje zmodyfikowana do fali $g_{AB}$. Można też równie dobrze powiedzieć, że fala $g_B$ po „uruchomieniu” materii w obszarze $A$ zostaje zmodyfikowana do fali $g_{AB}$. I dokładnie w tym sensie fale grawitacyjne interferują.

Interferencja fal grawitacyjnych różni się od interferencji fal elektromagnetycznych. Jeżeli $\phi_a$ ($\phi_b$) jest falą elektromagnetyczną wytwarzaną przez źródło $a$ ($b$), to fala $\phi_{ab}$ wytwarzana przez oba źródła jednocześnie jest związana z falami $\phi_a$ i $\phi_b$ za pomocą bardzo prostego równania:
\[
\phi_{ab}=\phi_a+\phi_b.
\]
Natomiast fala grawitacyjna $g_{AB}$ nie jest sumą fal $g_A$ i $g_B$:
\[
g_{AB}\neq g_A+g_B.
\]
Jak więc wygląda zależność fali $g_{AB}$ of fal $g_A$ i $g_B$? Nie wiem, i podejrzewam, że jak do tej pory nikomu nie udało się znaleźć wzoru wyrażającego ogólną zależność fali $g_{AB}$ od fal $g_A$ i $g_B$.

Skąd bierze się ta różnica? Źródłem tej różnicy są różne własności równań Maxwella i równań Einsteina (każde fizyczne pole elektromagnetyczne, w szczególności każda fala elektromagnetyczna, musi spełniać równania Maxwella, a każde fizyczne pole grawitacyjne, w szczególności każda fala grawitacyjna, musi spełniać równania Einsteina).

Otóż, jeżeli $\phi_1$ i $\phi_2$ są dowolnymi rozwiązaniami równań Maxwella, a $\alpha_1,\alpha_2$ są dowolnymi liczbami, to pole
\begin{equation}
\phi=\alpha_1\phi_1+\alpha_2\phi_2
\label{lin}
\end{equation}
jest również rozwiązaniem równań Maxwella. O równaniach, które posiadają tą własność mówimy, że są liniowe. Liniowość równań jest dość przyjemną cechą w tym sensie, że ułatwia ona znajdowanie ich rozwiązań – w szczególności wzór \eqref{lin} pozwala ze znanych rozwiązań tworzyć nowe.

Równania Einsteina, w przeciwieństwie do równań Maxwella, są nieliniowe (można nawet powiedzieć, że są „bardzo nieliniowe”, tzn. różnią się znacznie od równań liniowych). I dlatego np. suma $g_A+g_B$ dwóch fal grawitacyjnych nie jest rozwiązaniem równań Einsteina, a zatem nie może być falą grawitacyjną. Nieliniowość równań Einsteina jest także przeszkodą dla znalezienia ogólnej zależności fali $g_{AB}$ od fal $g_A$ i $g_B$.

Powyższe rozważania dotyczyły ogólnych fal grawitacyjnych. Okazuje się jednak, że istnieje pewna szczególna klasa tych fal, które interferują prawie tak samo jak fale elektromagnetyczne. Te szczególne fale grawitacyjne to fale o bardzo małej amplitudzie, poruszające się z dala od obiektów wytwarzających silne pola grawitacyjne. Każda taka fala może być opisana za pomocą metryki $g$ postaci
\[
g=g_0+h,
\]
gdzie $g_0$ jest metryką opisującą zerowe pole grawitacyjune (jest to metryka czasoprzestrzeni Minkowskiego), zaś $h$ jest „bardzo małym” zaburzeniem tej metryki. Równania Einsteina, które musi spełniać metryka $g$, redukują się z bardzo dobrym przypliżeniem do pewnych liniowych równań nałożonych na zaburzenie $h$. Co więcej, te równania nałożone na $h$ są identyczne z równaniami Maxwella, jakie spełnia poruszająca się w próżni fala elektromagnetyczna.

Załóżmy teraz, że nasze fale $g_A$ i $g_B$ należą do rozważanej tu klasy fal i mają postać
\begin{align*}
g_A&=g_0+h_A, & g_B&=g_0+h_B.
\end{align*}
Wtedy
\[
g_{AB}=g_0+h_{AB}
\]
i zaburzenie $h_{AB}$ jest z bardzo dobrym przybliżeniem równe sumie zaburzeń $h_A$ i $h_B$:
\[
h_{AB}\approx h_{A}+h_B.
\]