Strona głównaPytania → Czy planeta krąży wokół słońca...

Czy planeta krąży wokół słońca ze stałą prędkością?

Pytanie

Pyta Karol

Czy planeta krąży wokół słońca ze stałą prędkością?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

W takim układzie (planty krążącej wokół słońca) spełnione są różne prawa zachowania, a w szczególności prawo zachowania momentu pędu, zgodnie z którym moment pędu całego układu jest stały. Przyjmijmy dla uproszczenia, że słońce jest znacznie cięższe od planety i pozostaje ono w spoczynku (bez takiego przybliżenia słońce oraz planeta krążyłyby wokół ich środka ciężkości, co jednak nie zmieniłoby ostatecznego wniosku sformułowanego poniżej). W takim przybliżeniu moment pędu układu równy jest po prostu momentowi pędu planety $L$ i jego wartość wynosi

$$
L = m\cdot r\cdot V\cdot \sin \phi,
$$

gdzie $m$ to masa planety, $r$ oraz $V$ to jej odległość od słońca oraz prędkość w danym momencie, natomiast $\phi$ to kąt pomiędzy wektorem położenia planety a wektorem prędkości. Skoro moment pędu jest stały, a masa planety jest ustalona, to oznacza to, że iloraz $L/m$ też jest stały, czyli

$$
\frac{L}{m}=r\cdot V\cdot \sin \phi = const \qquad \Leftrightarrow \qquad V=\frac{const}{r\sin\phi}.
$$

Zatem prędkość $V$ zmienia się tak jak odwrotność $r\sin\phi$. Można też pokazać, że w ogólności planeta poruszać się musi po elipsie (w której ognisku znajduje się słońce), a zatem jej odległość $r$ od słońca (a także kąt $\phi$) się zmienia, i w konsekwencji $V$ także się (w ogólności) zmienia. Najłatwiej się o tym przekonać rozważając chwile, w których planeta znajduje się najbliżej oraz najdalej od słońca, tzn. kiedy znajduje się ona w skrajnych punktach elipsy. W takim przypadku kąt $\phi$ jest równy 90 stopni (wektor prędkości jest prostopadły do wektora wodzącego planety), toteż w takich dwóch chwilach po prostu $V=const/r$. W tych dwóch chwilach wartości $r$ są różne (skoro słońce znajduje się w ognisku elipsy), i w konsekwencji prędkości w takich dwóch chwilach też są różne. Skoro prędkość planety musi się zmieniać w sposób ciągły (jej wartość nie może nagle przeskoczyć o jakąś skończoną wartość), to w pozostałych punktach orbity prędkość planety musi przyjmować wartości pośrednie. Zatem prędkość planety w opisanym tu układzie nie jest stała.

Natomiast pewna szczególna sytuacja występuje wtedy, kiedy planeta porusza się po okręgu (który jest szczególnym przypadkiem elipsy). W takiej sytuacji odległość planety od słońca $r$ jest stała, a kąt $\phi$ także jest stały i wynosi 90 stopni, i w związku z tym prędkość także ma stałą wartość $V=const/r$.

Gdybyśmy na początku tych rozważań nie założyli, że słońce jest znacznie cięższe od planety, to analiza ruchu w takim układzie byłaby bardziej skomplikowana — ale też okazałoby się, że prędkość planety się zmienia.