Strona głównaPytania → Czy równanie Schroedingera można wyprowadzić?

Czy równanie Schroedingera można wyprowadzić?

Pytanie

Pyta maciek

Czy równanie Schroedingera można wyprowadzić, a jeśli tak to jak?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Równania Schroedingera nie można wyprowadzić; podobnie jak w przypadku innych fundamentalnych równań można jedynie zapostulować jego jego formę, oraz sprawdzić czy równanie to prawidłowo przewiduje wyniki doświadczeń — jeśli tak, to można je uznać za słuszne. Oczywiście samo zapostulowanie nowego równania nie jest sprawą oczywistą. W przypadku równania Schroedingera istotna jest analogia do wzoru na energię w mechanice klasycznej

$$
E = \frac{p^2}{2m}+V(x),
$$

gdzie $p$ oznacza pęd cząstki,  $m$ jej masę, a $V$ jest potencjałem. Zastępując w tym (klasycznym) równaniu energię i pęd przez ich odpowiedniki w mechanice kwantowej, czyli odpowiednio operatory $i\hbar\partial_t$ oraz $i\hbar\partial_x$, rzeczywiście otrzymuje się równanie Schroedingera — natomiast operacji takiej nie należy uważać za jego wyprowadzenie. Ponadto w przypadku mechaniki kwantowej kluczową kwestią jest interpretacja rozwiązań równania Schroedingera, czyli tzw. funkcji falowych — bez ich właściwej interpretacji nawet  poprawne napisanie równania nie ma jeszcze sensu. Dopiero właściwa interpretacja funkcji falowych (tzn. jej moduł podniesiony do kwadratu ma zadawać gęstość prawdopodobieństwa), i zgodność z doświadczeniem, pozwala uznać słuszność równania Schroedingera.

Bardziej szczegółowe umotywowanie postaci równania Schroedingera znaleźć można np. tutaj (w szczególności wzory (12.3.9) oraz (12.3.12)).