Strona głównaPytania → Czy wszystkie zjawiska da się...

Czy wszystkie zjawiska da się opisać matematycznie?

Pytanie

Pyta Andrzej

Jak to się dzieje, że za pomocą matematyki można opisywać rzeczywistość? Czy istnieją zjawiska których nie da się opisać matematycznie?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Pierwsze pytanie — jak to się dzieje, że za pomocą matematyki można opisywać rzeczywistość? — jest pytaniem natury filozoficznej, które naukowcy (fizycy, matematycy, filozofowie) zadają od dawna, ale na które trudno udzielić definitywnej odpowiedzi. W szczególności sam Albert Einstein powiedział takie zdanie:

„Najbardziej niezrozumiałe jest to, że Wszechświat można zrozumieć.”

Na temat skuteczności matematyki przy opisie zjawisk fizycznych wypowiedziano i napisano ogromną liczbę słów, opinii i poglądów — trudno je w tym miejscu wszystkie streścić. Część z nich wspomniana jest w artykule takimtakim; zagadnienie to jest także tematem słynnego artykułu Eugene Wignera z 1960 r., zatytułowanego „The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”, którego polskie tłumaczenie można znaleźć tutaj: „Niepojęta skuteczność matematyki w naukach przyrodniczych”.

Jeśli chodzi o drugie pytanie, to istnieje wiele zjawisk, których nie umiemy opisać matematycznie — i to z różnych powodów. Jeden powód może być taki, że nawet jeśli znamy podstawowe równania opisujące zachowanie się jakichś elementarnych składników materii, to nie jesteśmy w stanie rozwiązać tych równań w przypadku bardzo skomplikowanych układów, składających się z ogromnej ilości takich elementarnych składników. Przykładem takiego zjawiska jest turbulencja — problemem w tym przypadku jest nie tylko złożoność układu, lecz także to, że równania Naviera-Stokesa stosowane do opisu takich zjawisk są tzw. nieliniowymi równaniami różniczkowymi, o których rozwiązaniach nie wiemy wystarczająco dużo, nawet od samej strony matematycznej. Znalezienie  ogólnych rozwiązań równań Naviera-Stokesa jest jednym z tzw. problemów milenijnych Instytutu Matematycznego Claya, za którego rozwiązania można otrzymać nagrodę w wysokości miliona dolarów.

Innym przykładem jest opis oddziaływań jądrowych (silnych). W tym wypadku też znamy podstawową teorię opisującą oddziaływania silne — jest to tzw. chromodynamika kwantowa, będąca szczególnym przypadkiem (kwantowej) teorii Yanga-Millsa. Jednakże teorię tę umiemy rozwiązać tylko wtedy, gdy parametr determinujący siłę takich oddziaływań (tzw. stała sprzężenia) jest mały. Jeśli stała sprzężenia przyjmuje większe wartości (a tak się dzieje np. w jądrach atomowych w otaczającej nas materii w „zwykłych” warunkach), to nie jesteśmy w stanie znaleźć rozwiązań chromodynamiki kwantowej. W związku z tym np. nie potrafimy wyprowadzić z chromodynamiki kwantowej ścisłego opisu teoretycznego i przewidzieć własności jąder atomowych — i w związku z tym, do ich opisu używa się jedynie pewnych przybliżonych modeli, o ograniczonym zakresie stosowalności. Znalezienie rozwiązań teorii Yanga-Millsa jest także jednym z problemów milenijnych.

Innym przykładem zjawisk, czy też obiektów, których nie umiemy opisać matematycznie, są ciemna materiaciemna energia — tym razem dlatego, że po prostu nawet nie znamy właściwej teorii opisującej takie zagadnienia, choć z obserwacji wiemy, że we Wszechświecie obiekty takie istnieją. Obserwacje wskazują też, że w sumie ciemna materia i ciemna energia stanowią ok. 95% energii we Wszechświecie — czyli nawet jeśli potrafilibyśmy opisać całą resztę (tzn. zwykłą materię, z czym też mamy różne problemy), to i tak można by powiedzieć, że umiemy opisać matematycznie tylko mały procent zjawisk we Wszechświecie!

Istnieje wiele innych zjawisk fizycznych, których matematycznego dotychczas nie znamy, lub nie jest on zadowalający — w związku z tym, na szczęście, nic nie wskazuje na to, by fizycy mieli cierpieć na brak pracy…