Strona głównaPytania → Czy zwiększenie masy cząstki podczas...

Czy zwiększenie masy cząstki podczas jej przyspieszania powiększa jej masę grawitacyjną?

Pytanie

Pyta Andrzej

Czy zwiększenie masy cząstki podczas jej przyspieszania powiększa jej masę grawitacyjną?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Zauważmy na początek, że zadane pytanie dotyczy zjawiska i pojęcia wziętych z dwóch różnych (niezgodnych ze sobą) teorii fizycznych: szczególnej teorii względności i grawitacji Newtonowskiej.

W szczególnej teorii względności równanie ruchu cząstki ma postać
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(m\gamma \vec{v})=\vec{F},
\label{rr}
\end{equation}
gdzie $m$ jest masą spoczynkową (bezwładną) cząstki, $\vec{v}$ – jej prędkością względem ustalonego obserwatora inercjalnego, $\vec{F}$ siłą działającą na cząstkę, a
\begin{equation}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}
\label{g}
\end{equation}
(przy założeniu, że pracujemy w wygodnych jednostkach, w których prędkość światła $c=1$). Łatwo dostrzec, że czynnik $\gamma$ rośnie wraz ze wzrostem prędkości. Zatem występujący w równaniu ruchu \eqref{rr} iloczyn $m\gamma$ zwany czasami masą relatywistyczną również rośnie wraz ze wzrostem prędkości cząstki. I stąd właśnie bierze się twierdzenie o wzroście masy relatywistycznej cząstki wraz ze wzrostem prędkości.

Z drugiej strony w grawitacji Newtonowskiej siła z jaką dane pole grawitacyjne oddziałuje na cząstkę jest wprost proporcjonalna do jej masy grawitacyjnej (więcej na temat masy grawitacyjnej można przeczytać tutaj).

Na postawione pytanie nie sposób odpowiedzieć na gruncie

  • szczególnej teorii względności, ponieważ w tej teorii nie występuje pojęcie masy grawitacyjnej (teoria ta opisuje czasoprzestrzeń bez pola grawitacyjnego),
  • grawitacji Newtonowskiej, ponieważ w tej teorii nie istnieje zjawisko przyrostu masy wywołane wzrostem prędkości cząstki

— odpowiedź na to pytanie wymaga odwołania się do ogólnej teorii względności (OTW), która jest uogólnieniem zarówno szczególnej teorii względności jak i grawitacji Newtonowskiej.

OTW zakłada równość masy grawitacyjnej i masy bezwładnej cząstki. Konsekwencją tego założenia jest między innymi to, że masa cząstki wypada z równania opisującego jej ruch pod wpływem pola grawitacyjnego.

Tym niemniej do tego równania można na powrót dopisać masę cząstki i zapisać je w następującej postaci:
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(m\bar{\gamma} \vec{v})=m\bar{\gamma}\big(\vec{f} +\vec{f}(\vec{v})+\vec{f}(\vec{v},\vec{v})\big)
\label{rr-otw}
\end{equation}
— jest to dość nietypowa postać tego równania (zazwyczaj równanie to zapisuje się w zupełnie inny sposób), ale z drugiej strony jego lewa strona bardzo przypomina lewą stronę równania \eqref{rr}. We wzorze \eqref{rr-otw} symbol $\bar{\gamma}$ oznacza funkcję prędkości cząstki względem ustalonego obserwatora — funkcja ta jest bardziej skomplikowana niż funkcja \eqref{g}. Występująca po prawej stronie równania \eqref{rr-otw} wielkość $\vec{f}$ zależy wyłącznie od pola grawitacyjnego, wielkość $\vec{f}(\vec{v})$ jest zależną od pola grawitacyjnego liniową funkcją prędkości cząstki, a $\vec{f}(\vec{v},\vec{v})$ — zależną od pola kwadratową funkcją prędkości.

Ponieważ prawa strona równania \eqref{rr-otw} jest uogólnieniem Newtonowskiej siły grawitacji i jest wprost proporcjonalna do iloczynu $m\bar{\gamma}$ więc w zasadzie można ów iloczyn nazwać „relatywistyczną masą grawitacyjną”.

Pozostaje jednak pytanie, czy masa $m\bar{\gamma}$ rośnie wraz ze wzrostem prędkości. I tu pojawia się problem: co to znaczy, że prędkość rośnie? Odpowiedź na to pytanie wbrew pozorom nie jest oczywista, ponieważ prędkość cząstki względem obserwatora nie jest naturalnym obiektem z punktu widzenia czasoprzestrzennej geometrii — prędkość ta jest obiektem trójwymiarowym, zaś geometria czasoprzestrzeni opisuje własności obiektów czterowymiarowych. Okazuje się, że to czy masa $m\bar{\gamma}$ rośnie czy też nie wraz ze wzrostem prędkości zależy od tego, jak zdefiniujemy wzrost prędkości — przy jednej definicji masa $m\bar{\gamma}$ będzie rosła wraz ze wzrostem prędkości, przy innej nie.

Podsumowując: „na upartego” można wprowadzić w OTW pojęcie relatywistycznej masy grawitacyjnej i twierdzić, że rośnie ona wraz ze wzrostem prędkości cząstki. Jednakże to pojęcie i to twierdzenie są dość słabe w tym sensie, że definicja relatywistycznej masy grawitacyjnej oparta jest na równaniu \eqref{rr-otw}, którego postać nie jest naturalna z punktu widzenia geometrii czasoprzestrzeni, a prawdziwość tego twierdzenia wymaga odpowiedniego zdefiniowania wzrostu prędkości. W konsekwencji omawiane pojęcie i twierdzenie nie są raczej użyteczne tzn. nie wydaje się, aby wnosiły coś istotnego do naszego zrozumienia OTW i dlatego nie należy przywiązywać do nich zbyt dużej wagi.