Zauważmy na początek, że zadane pytanie dotyczy zjawiska i pojęcia wziętych z dwóch różnych (niezgodnych ze sobą) teorii fizycznych: szczególnej teorii względności i grawitacji Newtonowskiej.

W szczególnej teorii względności równanie ruchu cząstki ma postać
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(m\gamma \vec{v})=\vec{F},
\label{rr}
\end{equation}
gdzie $m$ jest masą spoczynkową (bezwładną) cząstki, $\vec{v}$ – jej prędkością względem ustalonego obserwatora inercjalnego, $\vec{F}$ siłą działającą na cząstkę, a
\begin{equation}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}
\label{g}
\end{equation}
(przy założeniu, że pracujemy w wygodnych jednostkach, w których prędkość światła $c=1$). Łatwo dostrzec, że czynnik $\gamma$ rośnie wraz ze wzrostem prędkości. Zatem występujący w równaniu ruchu \eqref{rr} iloczyn $m\gamma$ zwany czasami masą relatywistyczną również rośnie wraz ze wzrostem prędkości cząstki. I stąd właśnie bierze się twierdzenie o wzroście masy relatywistycznej cząstki wraz ze wzrostem prędkości.

Z drugiej strony w grawitacji Newtonowskiej siła z jaką dane pole grawitacyjne oddziałuje na cząstkę jest wprost proporcjonalna do jej masy grawitacyjnej (więcej na temat masy grawitacyjnej można przeczytać tutaj).

Na postawione pytanie nie sposób odpowiedzieć na gruncie

• szczególnej teorii względności, ponieważ w tej teorii nie występuje pojęcie masy grawitacyjnej (teoria ta opisuje czasoprzestrzeń bez pola grawitacyjnego),
• grawitacji Newtonowskiej, ponieważ w tej teorii nie istnieje zjawisko przyrostu masy wywołane wzrostem prędkości cząstki

— odpowiedź na to pytanie wymaga odwołania się do ogólnej teorii względności (OTW), która jest uogólnieniem zarówno szczególnej teorii względności jak i grawitacji Newtonowskiej.

OTW zakłada równość masy grawitacyjnej i masy bezwładnej cząstki. Konsekwencją tego założenia jest między innymi to, że masa cząstki wypada z równania opisującego jej ruch pod wpływem pola grawitacyjnego.

Tym niemniej do tego równania można na powrót dopisać masę cząstki i zapisać je w następującej postaci:
\begin{equation}
\frac{d}{dt}(m\bar{\gamma} \vec{v})=m\bar{\gamma}\big(\vec{f} +\vec{f}(\vec{v})+\vec{f}(\vec{v},\vec{v})\big)
\label{rr-otw}
\end{equation}
— jest to dość nietypowa postać tego równania (zazwyczaj równanie to zapisuje się w zupełnie inny sposób), ale z drugiej strony jego lewa strona bardzo przypomina lewą stronę równania \eqref{rr}. We wzorze \eqref{rr-otw} symbol $\bar{\gamma}$ oznacza funkcję prędkości cząstki względem ustalonego obserwatora — funkcja ta jest bardziej skomplikowana niż funkcja \eqref{g}. Występująca po prawej stronie równania \eqref{rr-otw} wielkość $\vec{f}$ zależy wyłącznie od pola grawitacyjnego, wielkość $\vec{f}(\vec{v})$ jest zależną od pola grawitacyjnego liniową funkcją prędkości cząstki, a $\vec{f}(\vec{v},\vec{v})$ — zależną od pola kwadratową funkcją prędkości.

Ponieważ prawa strona równania \eqref{rr-otw} jest uogólnieniem Newtonowskiej siły grawitacji i jest wprost proporcjonalna do iloczynu $m\bar{\gamma}$ więc w zasadzie można ów iloczyn nazwać „relatywistyczną masą grawitacyjną”.

Pozostaje jednak pytanie, czy masa $m\bar{\gamma}$ rośnie wraz ze wzrostem prędkości. I tu pojawia się problem: co to znaczy, że prędkość rośnie? Odpowiedź na to pytanie wbrew pozorom nie jest oczywista, ponieważ prędkość cząstki względem obserwatora nie jest naturalnym obiektem z punktu widzenia czasoprzestrzennej geometrii — prędkość ta jest obiektem trójwymiarowym, zaś geometria czasoprzestrzeni opisuje własności obiektów czterowymiarowych. Okazuje się, że to czy masa $m\bar{\gamma}$ rośnie czy też nie wraz ze wzrostem prędkości zależy od tego, jak zdefiniujemy wzrost prędkości — przy jednej definicji masa $m\bar{\gamma}$ będzie rosła wraz ze wzrostem prędkości, przy innej nie.

Podsumowując: „na upartego” można wprowadzić w OTW pojęcie relatywistycznej masy grawitacyjnej i twierdzić, że rośnie ona wraz ze wzrostem prędkości cząstki. Jednakże to pojęcie i to twierdzenie są dość słabe w tym sensie, że definicja relatywistycznej masy grawitacyjnej oparta jest na równaniu \eqref{rr-otw}, którego postać nie jest naturalna z punktu widzenia geometrii czasoprzestrzeni, a prawdziwość tego twierdzenia wymaga odpowiedniego zdefiniowania wzrostu prędkości. W konsekwencji omawiane pojęcie i twierdzenie nie są raczej użyteczne tzn. nie wydaje się, aby wnosiły coś istotnego do naszego zrozumienia OTW i dlatego nie należy przywiązywać do nich zbyt dużej wagi.