Strona głównaPytania → Czym w ogólnej teorii względności...

Czym w ogólnej teorii względności są wektory Killinga?

Pytanie

Pyta Jakub

Czym w ogólnej teorii względności są tak zwane wektory Killinga?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

W geometrii różniczkowej każdemu polu wektorowemu można przypisać tzw. krzywe całkowe — krzywa całkowa
\[
\lambda\mapsto\chi(\lambda)
\]
pola wektorowego $\vec{X}$ ma tą własność, że w każdym punkcie tej krzywej wektor $\vec{\chi}$ styczny do niej jest równy wartości pola $\vec{X}$ w tym punkcie:
\[
\vec{\chi}(\lambda)=\vec{X}(\chi(\lambda)).
\]
Dwie różne krzywe całkowe tego samego pola wektorowego nie mają punktów wspólnych, a wszystkie krzywe całkowe danego pola wypełniają całą przestrzeń.

Przykład: jeżeli przestrzenią jest $\mathbb{R}^2$, a pole wektorowe
\begin{equation}
\vec{X}=-y\vec{e}_x +x\vec{e}_y,
\label{obr}
\end{equation}
to krzywe całkowe tego pola mają postać
\[
\lambda\mapsto(x(\lambda),y(\lambda))=(r\cos\lambda,r\sin\lambda),
\]
gdzie $r\geq 0$ jest parametrem „numerującym” krzywe. W tym przypadku obrazami wszystkich krzywych są okręgi, za wyjątkiem krzywej $r=0$, której obraz jest punktem.

Przypuśćmy teraz, że na danej przestrzeni zdefiniowana jest metryka $g$. Jeżeli metryka $g$ jest stała wzdłuż krzywych całkowych pewnego pola wektorowego $\vec{X}$ to pole to nazywamy polem Killinga.

Dla ogromnej większości metryk jedynym polem Killinga jest pole wektorowe równe zeru w każdym punkcie przestrzeni (jest to pole, którego wszystkie krzywe całkowe redukują się do pojedyńczych punktów). Dowodzi się, że metryka zdefiniowana na przestrzeni o wymiarze $n$ może mieć conajwyżej $n(n+1)/2$ różnych niezerowych (dokładniej: liniowo niezależnych) pól Killinga.

Przykład: w przypadku metryki
\[
g=dx^2+dy^2
\]
określonej na $\mathbb{R}^2$ polami Killinga są między innymi pole $\vec{e}_x$, pole $\vec{e}_y$ oraz pole \eqref{obr}.

W ogólnej teorii względności (OTW) pole grawitacyjne jest opisane za pomocą metryki i w związku z tym pojęcie pól Killinga pojawia się w tej teorii i ma różnorodne zastosowania. Poniżej wymienię najważniejsze z nich.

Po pierwsze, pola Killinga służą do definiowania bądź opisywania symetrii pola grawitacyjnego. Mówimy na przykład, że pole grawitacyjne jest stacjonarne, jeżeli metryka opisująca to pole posiada czasowe pole Killlinga (metryka w każdym punkcie czasoprzestrzeni wyróżnia wektory czasowe, zerowe i przestrzenne; pole wektorowe jest czasowe, jeżeli wartość tego pola w każdym punkcie jest wektorem czasowym). W przypadku pól sferycznie symetrycznych metryka opisująca takie pole posiada trzy (liniowo niezależne) pola Killinga, z których każde związane jest z obrotami wokół ustalonej osi.

Pola Killinga danej metryki pozwalają zazwyczaj znaleźć układ współrzędnych na czasoprzestrzeni, w którym metryka posiada stosunkowo prostą postać.

Pola Killinga mogą też służyć do odróżniania pary metryk: przypuśćmy, że składowe metryki $g$ w pewnym układzie współrzędnych mają zupełnie inną postać, niż składowe metryki $g’$. Mimo to może okazać się, że obie metryki są równoważne tzn. opisują dokładnie to samo pole grawitacyjne. W praktyce nie jest łatwo odpowiedzieć na pytanie, czy dwie metryki zadane przez składowe opisują to samo czy różne pola grawitacyjne. Jedna z możliwych metod znalezienia odpowiedzi na to pytanie polega na znalezieniu pól Killinga porównywanych metryk. Jeżeli np. okaże się, że metryka $g$ posiada tylko jedno niezerowe pole Killinga, a metryka $g’$ dwa (liniowo niezależne) pola Killinga to oznacza to, metryki $g$ i $g’$ opisują różne pola grawitacyjne.

Okazuje się też, że każde pole Killinga definiuje stałą ruchu cząstki swobodnej czyli cząstki poruszającej się wyłącznie pod wpływem pola grawitacyjnego. Przypuśćmy, że $\vec{X}$ jest polem Killinga metryki $g$, a $\lambda\mapsto\gamma(\lambda)$ linią świata cząstki swobodnej — linia świata takiej cząstki jest tzw. krzywą geodezyjną czyli uogólnieniem linii prostej na przypadek zakrzywionej czasoprzestrzeni. Jeżeli symbolem $\vec{\gamma}$ oznaczymy wektor styczny do linii świata $\gamma$ to wielkość
\[
g(\vec{\gamma},\vec{X})
\]
nie zmienia się wzdłuż tej linii świata czyli jest stałą ruchu cząstki swobodnej. Znajomość stałych ruchu cząstki upraszcza analizę jej ruchu, np. w czasoprzestrzeni Schwarzschilda istnieją cztery (liniowo niezależne) pola Killinga, które definiują cztery niezależne stałe ruchu dla każdej cząstki swobodnej. Ich znajomość pozwala zredukować równania ruchu danej cząstki składające się z czterech równań różniczkowych drugiego rzędu do jednego równania różniczkowego pierwszego rzędu.