Według elektrodynamiki klasycznej, energia elektronu o masie $m$, poruszającego się  z prędkością $v$ względem protonu, i będącego od niego w odległości $R$ wynosi

$$
E(R,v) = \frac{mv^2}{2}- \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{R} ,
$$

gdzie $\epsilon_0$ jest stałą dielektryczną próżni. Energia ta może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą.

W mechanice kwantowej, gdy elektron z protonem tworzy stan związany, energia takiego układu jest ujemna i wynosi

$$
E_n=-\frac{me^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}\frac{1}{n^2},
$$

gdzie $\hbar=h/2\pi$ jest stałą Plancka podzieloną przez $2\pi$. Liczba $n$ przyjmuje dowolne wartości naturalne, tzn., $n=1,2,3,…,\infty$. Mówimy, że energia jest skwantowana i przyjmuje tylko ściśle określone wartości

$$
E_n=-\frac{E_0}{n^2}, \;{\rm gdzie}\; E_0=\frac{me^4}{32\pi^2\epsilon_0^2\hbar^2}.
$$

Pisząc jawnie, dopuszczalne wartości energii stanu związanego to jednostkach $E_0$ są równe

$$
\frac{E_n}{E_0}=-1,\;,-\frac{1}{4},\;-\frac{1}{9},\;-\frac{1}{16},\;-\frac{1}{25},\;-\frac{1}{36},\;-\frac{1}{49},\;-\frac{1}{64},\;-\frac{1}{81},-\frac{1}{100},\;\dots
$$

Jak widać, możliwych wartości jest nieskończenie wiele. Ale nie każda liczba z przedziału $\langle-1,0)$ jest dopuszczalna. Nigdy energia w tego układu nie przyjmie takich wartości, jak

$$
\frac{E_n}{E_0}\neq -\frac{1}{7},\;-\frac{1}{13},\;-\frac{1}{999999},
$$

i nieskończenie wielu innych.

Pytanie czytelnika jest w zasadzie pytaniem dotyczącym matematyki. Skoro w przedziale $\langle 0,1)$ mamy nieskończenie wiele liczb wymiernych, tzn. liczb w postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi i $p<q$, to dlaczego nie każda liczba z tego przedziału jest liczbą wymierną? Np. $0<\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ należy do tego przedziału, a jest niewymierne.

W przedziale $\langle 0,1)$ mamy nieskończenie wiele liczb wymiernych i jednocześnie mamy nieskończenie liczb rzeczywistych (wymiernych i niewymiernych razem wziętych). Ale intuicyjnie widzimy, że ten zbiór liczb rzeczywistych jest większy od zbioru liczby wymiernych. Aby jednak to prawidłowo opisać należy sięgnąć po koncepcje liczb kardynalnych i inne pomysły z teorii mnogości, co jest zadaniem bardziej dla matematyka niż fizyka.