Liczba $\pi$ jest jedną z najbardziej znanych liczb niewymiernych, czyli takich, których nie da się zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. To, że rzeczywiście jest niewymierna, nie jest niestety oczywiste. Znanych jest wiele dowodów na niewymierność $\pi$, ale wykorzystuje się w nich dość skomplikowane metody matematyczne (np. rachunek różniczkowy i całkowy). Pierwszy znany dowód, napisany przez Johanna Heinricha Lamberta, pochodzi z drugiej połowy XVIII w.

Koło o średnicy 1 będzie miało obwód równy $\pi$, czyli koło z wymierną długością średnicy będzie miało niewymierny obwód. Wartość $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy. Intuicyjnie nie jest to stosunek dwóch wymiernych liczb, dlatego domyślamy się, że $\pi$ ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Można je dowolnie przybliżać na wiele sposobów na przykład $\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots $ i tak w nieskończoność, ale nigdy nie będzie to ciąg skończony.

Trudność dowodu wynika między innymi stąd, że $\pi$ jest nieprzestępna, tzn. nie spełnia żadnej równości algebraicznej odnoszącej się do liczb wymiernych. Na przykład $\sqrt2$ jest niewymierny, ale jest wynikiem równania $x^2=2$, co znacznie upraszcza dowodzenie tej niewymierności.

Jako ciekawostka – w 1897 r. ukazała się ustawa w stanie Indiana, która miała prawnie ustalać konkretną, skończoną wartość pi. Skutkiem takiej równości byłaby możliwość udowodnienia wielu nieprawdziwych teorii. M.in. miałoby pozwalać to na rozwiązanie „kwadratury koła” czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Więcej o tym wydarzeniu można przeczytać w Wikipedii.