W książce „Biografia fizyki” George Gamow zwraca uwagę na ciekawą kwestię. Wraz z rozwojem fizyki kolejne działy matematyki znajdowały zastosowanie: analiza, potem algebra i geometria. Gamow pisze, że tylko z wielkich działów matematyki tylko topologia i teoria liczb nie stanęły u podstaw żadnej wielkiej teorii fizycznej i pozostają czysto matematycznymi rozważaniami. Jeśli chodzi o topologię, to słowa Gamowa się zdezaktualizowały, bo odgrywa ona coraz większą rolę. Natomiast nie da się tego powiedzieć o teorii liczb. Czy myślą Panowie, że w najbliższym czasie teoria liczb legnie u podstaw jakiegoś doniosłego fizycznego konceptu, tak jak geometria różniczkowa legła u podstaw OTW? Jeśli nie, to może w innej działce matematyki upatrujecie przyszłej „gwiazdy”? Czy kierunek, w jakim idzie teoria strun – najpoważniejszy kandydat na teorię „wszystkiego” (choć to dyskusyjna nazwa) – jest jakąś wskazówką? Pewna grupa fizyków matematycznych wiąże duże nadzieje z teorią kategorii, która jednak wydaje się na razie bardzo abstrakcyjna.
Fizyka i teoria liczb
Pytanie
Odpowiedź
Od pewnego czasu teoria liczba rzeczywiście znajduje coraz więcej zastosowań w fizyce współczesnej, przede wszystkim w różnego rodzaju zagadnieniach związanych z mechaniką kwantową, a w szczególności z kwantową teorią pola, jak i teorią strun. Intuicyjne wytłumaczyć takie związki wytłumaczyć można następująco. W przeciwieństwie do fizyki klasycznej, w której różne wielkości fizyczne (pęd, energia, etc.) przyjmują dowolne, ciągłe wartości, w mechanice kwantowej wielkości takie (tzw. obserwable) przyjmować mogą wartości dyskretne (tzn. wartości ze zbioru który jest przeliczalny (jak np. zbiór liczb naturalnych), a w szczególności nawet skończony). Podobnie teoria liczb zajmuje się zagadnieniami o dyskretnym charakterze (w przeciwieństwie do np. analizy matematycznej czy geometrii, w których to właśnie ciągłość ma zasadnicze znaczenie). Dyskretny charakter różnych wielkości fizycznych rozpatrywanych w zagadnieniach związanych z mechaniką kwantową okazuje się mieć wiele wspólnego z dyskretnym charakterem wielkości analizowanych w teorii liczb. Ponadto związki takie okazują się być istotne dla obydwu dziedzin: z jednej strony znane wyniki matematyczne pozwalają na rozwiązanie pewnych zagadnień fizycznych, a z drugiej strony metody stosowane przez fizyków i wypracowane przez nich intuicje często prowadzą do zaskakujących wniosków w teorii liczb.
Znanych jest wiele związków pomiędzy fizyką i teorią liczb, a ponadto dotyczą one współczesnych i zazwyczaj dosyć zaawansowanych zagadnień — trudno je zatem wszystkie zwięźle i przystępnie w tym miejscu opisać. Różne tego typu związki są wymienione i opisane na takiej stronie. Warto przeczytać następujący artykuł przedstawiający związki teorii liczb z teorią kwantowego chaosu (na stronach 1 i 12). Od roku 2007 istnieje bardzo prestiżowe czasopismo „Communications in Number Theory and Physics”, poświęcone właśnie związkom pomiędzy tymi dwoma dziedzinami (warto przejrzeć spis treści poszczególnych numerów, by zorientować się, jakim zagadnieniom poświęcone są poszczególne artykuły) — w skład komitetu redakcyjnego tego czasopisma wchodzą jedni z najwybitniejszych współczesnych matematyków i fizyków teoretyków. Organizowane są także konferencje naukowe poświęcone związkom pomiędzy teorią liczb i fizyką. Rzeczywiście istnieje też bardzo wiele związków pomiędzy teorią liczb i teorią strun, i takim zagadnieniom poświęcona była np. konferencja w Banff (Kanada) w roku 2011, czy też konferencja w Paryżu w roku 2016; przeglądając program tych konferencji można zorientować się, jakim (zaawansowanym!) zagadnieniom były one poświęcone.
Warto też zauważyć, że książkę „Biografia fizyki” George Gamow napisał w roku 1961 — nie mógł być on zatem świadomy wszystkich wyżej wspomnianych związków, które zostały odkryte dużo później.