Wpływ grawitacji na propagację fali elektromagnetycznej (ale także fali de Broglie) jest dwojaki. W każdym razie wygodnie jest tak to rozbić.

Po pierwsze, sama trójwymiarowa przestrzeń jest (co jest dostatecznie spopularyzowane), w obecności pola grawitacyjnego (mówimy o stałym polu, takim jak pole pojedynczej kulistej gwiazdy, czy czarnej dziury) zakrzywiona.

Skupmy się na tym pierwszym czynniku. Zakrzywienie przestrzeni trójwymiarowej jest dla niewyrobionego umysłu trudne do wyobrażenia, ale na szczęście, bieg promienia (a także punktu materialnego, np. komety) odbywa się w płaszczyźnie. Cała ta płaszczyzna jest też zakrzywiona! A to już łatwiej sobie wyobrazić. Wyobraźmy sobie coś na kształt odwróconego do dołu kapelusza z ogromnym rondem prostującym się daleko od środka, ale zapadającym się coraz stromiej przy zbliżaniu do środka. Na pewnym obwodzie stromizna materiału kapelusza staje się pionowa. W tym miejscu kapelusz przecinamy. Robimy DZIURĘ.

Można podać równanie tego „kapelusza”: z=Sqrt[4R(r-R)], gdzie symbol Sqrt oznacza pierwiastek kwadratowy (w tym liście nie mogę zamieszczać znaków matematycznych), R to tzw. promień Schwartzschilda wynoszący R=2GM/c^2, gdzie G to stała grawitacyjna Newtona, M to masa a c^2 to oczywiście kwadrat prędkości światła. Powierzchnia naszego kapelusza to powierzchnia obrotowa powstająca przez obrót jednej gałęzi paraboli wokół osi obrotu prostopadłej do osi paraboli i przechodzącej przez punkt odległy od wierzchołka o R. Powierzchnia jest więc dziurawa. Istnieje ona tylko dla r>R.

Wyobraźmy sobie teraz, że wykonujemy nasz „kapelusz” z cienkiego plastiku, z jakiego wykonuje się światłowody. Jeżeli teraz wpuścić z brzegu strugę światła (promień) do naszego „kapelusza” (tam gdzie on już jest prawie płaski), to będzie on się poruszał po pewnej linii krzywej wymuszonej wygięciem kapelusza. Jeżeli patrzymy na wszystko z góry (dopuszczamy że światłowód nie jest idealny i puszcza nieco światła na boki), to nawet ignorując fakt iż promień najpierw się obniża, a potem wznosi, dostrzeżemy niewątpliwy fakt, że promień ten odchyli się ku dziurze i opuści kapelusz po linii tworzącej z kierunkiem wejścia pewien kąt różny od zera.

Gdy – korzystając z ogromnych rozmiarów ronda w stosunku do promienia dziury (R) – wpuścimy promień pod dużym kątem do krawędzi brzegu, nie zbliży się on znacznie do dziury, pójdzie cały czas bokiem, a jego odchylenie w stosunku do kierunku wejścia przy wychodzeniu z kapelusza będzie znikome. Gdy zaczniemy kierować promień z latarenki laserowej coraz bardziej centralnie, odchylenie stanie się coraz to większe i większe.

Linie opisane powyżej (przy różnych kątach wchodzenia z nieskończoności w obszar znaczącego zakrzywienia naszej paraboloidy) nazywają się geodezyjnymi. Podany model opisuje ŚCIŚLE bieg linii geodezyjnych przestrzeni Schwartzschilda. Musimy tylko pamiętać, by nie przejmować się trzecim wymiarem, a patrzeć na sytuację „z góry”, czyli jakby rzutować bieg linii na płaską powierzchnię na której leży kapelusz. Punkt na tej płaszczyźnie ma współrzędną kątową i współrzędną r. Jednak światło w naszym modelu idąc np. z punktu r+dr do punktu r przebywa odległość większą (bo jeszcze się mu zmienia z) równą dr/Sqrt[1-R/r]. Jeśli przemieszcza się nie wprost do środka, a zmieni sobie i r i kąt fi, to odległość prawdziwa (w światłowodzie) wyniesie

ds=Sqrt[dr^2/(1-R/r)+r^2 (dfi)^2].

Gdyby kapelusz nie był wygięty w ogóle, to metryka byłaby zwykła, euklidesowa:

ds=Sqrt[dr^2+r^2 (dfi)^2]

Przypominam że R=2GM/c^2. Zatem geometria, czyli wzór na odłegłość, jest zmieniona przez grawitację i to tym silniej, im większa masa M tworząca tę grawitację.

Niektórzy ludzie błędnie sądzą, że tylko do opisanego zakrzywiania się linii geodezyjnych (najkrótszych) sprowadza się działanie grawitacji na światło. W omówionym modelu światłowodu, światło w oczywisty sposób porusza się po najkrótszej linii. No może to nie takie oczywiste, ale po chwili zastanowienia jest dość oczywiste. Otóż zakładając że nasz kapelusz (mający na razie tylko geometrię identyczną z geometrią Schwartzschilda) jest jednorodny i DŁUGOŚĆ fali światła jest w nim stała. Wybierając dwa punkty A i B i zastanawiając się o ile zmieni się FAZA fali przy propagacji od A do B widzimy że zmieni się ona proporcjonalnie do odległości s(A,B), będąc s(A,B)/lambda.

Zasada Huyghensa propagacji fal podpowiada iż tory z NAJMNIEJSZĄ zmiana fazy, którym towarzyszą BLISKIE tory o niemal identycznej zmianie fazy od A do B interferujące konstruktywnie stają się torami optyki geometrycznej, czyli promieniami. To słynna zasada Fermata słuszna dla wszelkich fal i dla wszelkich geometrii ośrodka w którym propaguje się fala. Liczba długości fal ma być najmniejsza – i już. (W najprostszych warunkach, bez dyspersji, przy propagacji w ośrodku o zmiennym współczynniku załamania, bez uwzględnienia grawitacji, długość fali jest proporcjonalna do prędkości FAZOWEJ fali, więc iloraz drogi i długości fali jest proporcjonalny do ilorazu odległości i prędkości co niektórzy interpretują jako CZAS wędrówki. Tak zresztą – jako zasadę najkrótszego czasu sformułował swe odkrycie Fermat. Ale przecież fotonom się nigdzie nie spieszy! To nie ludzie, w szczególności nie biznesmani hołdujący zasadzie czas to pieniądz). Zasada sformułowana z warunkiem minimalności (ściślej stacjonarności) fazy oznacza konstruktywną interferencję licznych fal z zasady Huyghensa i jest zrozumiała sama z siebie.

Jest cudownie, iż zasada ta słuszna jest i w teorii grawitacji Einsteina i to zarówno dla światła i dla fal materii. Trzeba tylko odpowiedzieć na pytanie – czy długość fali pozostaje stała przy przemieszczaniu się w polu grawitacyjnym.

TO JEST ZDAJE SIĘ TO PYTANIE NA KTÓRE MAM ODPOWIEDZIEĆ.

Tak, długość fali zmienia się!!!

A dlaczego? I jak?

Nie mogę tu zrobić CAŁEGO wykładu OTW, ale osoby interesujące się tą teorią słyszały zapewne iż w polu grawitacyjnym CZAS BIEGNIE INACZEJ w różnych miejscach. Oznacza to natychmiast iż seria impulsów wysyłana periodycznie z jednego stałego punktu w polu grawitacyjnym (np cukierki rzucane regularnie przez Pawła z pierwszego piętra do Gawła z parteru, docierają do niego też regularnie. Jednak, o ile Paweł rzuca te cukierki w tempie jeden na sekundę, to Gaweł będzie je odbierał w odstępach NIECO KRÓTSZYCH. I na odwrót, grzbiety światła linii widmowej, np. wodoru, wysyłane z powierzchni Słońca z dobrze znaną częstotliwością będą przesunięte KU CZERWIENI gdy dotrą do Ziemi.

Stosunek częstotliwości fali w punkcie r w stosunku do częstotliwości w NIESKOŃCZONOŚCI wynosi

1/Sqrt[1-R/r]. Długość fali L(r),

w stosunku do długości fali w nieskończoności L[niesk] wynosi więc po prostu:

L[niesk]*Sqrt[1-R/r].

Zatem ZMIANA FAZY o którą jestem pytany, między bliskimi punktami wyniesie

2Pi*ds/L(r)=2Pi*Sqrt[dr^2/(1-R/r)+r^2 (dfi)^2]/Sqrt[1-R/r]/L[niesk].

W optyce nie operuje się dosłownie fazą. Dla celów wyznaczania torów światła używa się pojęcia współczynnika załamania. I chociaż jest on nieszczęśliwie definiowany jako stosunek prędkości światła w ośrodkach, to gdy go przedefiniować jako stosunek długości fal (co w tym wypadku na jedno wychodzi a jest głębsze co do istoty rzeczy), to możemy jego pojęcie przenieść do realnego pola grawitacyjnego! Jako stosunek długości fali w nieskończoności do długości fali punkcie r wynosi ten współczynnik teraz ni mniej ni więcej tylko n=1/Sqrt[1-R/r]>1

Tzw. „droga optyczna” czyli iloczyn długości drogi geometrycznej i współczynnika załamania jest wprost proporcjonalny do ILORAZU drogi geometrycznej i lokalnej długości fali. Jest więc dokładnie miarą ZMIANY FAZY.

Wracając do naszego kapelusza. Po to, by uzyskać PRAWDZIWE i ŚCISŁE odchylenia światła w polu grawitacyjnym od masy M, należy wyznaczyć odchylenie światła naszej latarenki w kapeluszu opisanego kształtu zbudowanego z materiału NIEJEDNORODNEGO, o współczynniku załamania światła rosnącym przy zbliżaniu się do centrum i wartości 1/Sqrt[1-R/r].

Gdyby zostawić zależność współczynnika załamania od odległości ale wypłaszczyć kapelusz, kąt odchylenia okazałby się (dla słabych odchyleń, czyli parametrów zderzenia dużych w porównaniu z R) identyczny z odchyleniem jakie w teorii Newtona zyskiwałaby kometa o prędkości c. Na odwrót, gdyby utrzymać n=1, to sam kapelusz (dla dużych parametrów zderzenia) też by dał takie samo odchylenie.

Ponieważ działają oba czynniki, odchylenie jest DWA razy większe niż to wynika z teorii Newtona dla ciała o prędkości c. Owa podwójna wartość (a nie samo odchylenie) było istotą ekspedycji Eddingtona potwierdzającego przez obserwację zaćmienia Słońca słuszność teorii Einsteina.

Na zakończenie powiedzmy jeszcze o wielkości Sqrt[1-R/r] odgrywającej kluczową rolę zarówno w opisie „geometrii” przestrzeni (dwa koncentryczne okręgi o współrzędnych r i r+dr mają obwody różniące się o 2Pi*(r+dr)-2Pi*r = 2Pi*dr, ale odległość między nimi wynosi dr/Sqrt[1-R/r].

Podobnie, choć nie tak samo, jest z równoleżnikami na ZAKRZYWIONEJ powierzchni Ziemi. Równoleżnik o obwodzie 2Pi*r ma promień, mierzony wzdłuż południka, wynoszący R*ArcSin[r/R], co tylko blisko bieguna, i tylko w przybliżeniu wynosi r.

Jeśli zapomnieć na chwilę o komplikacjach teorii Einsteina i traktować r jako odległość od środka gwiazdy, to tzw. drugą prędkością kosmiczną v, niezbędną by wysłać ciało z odległości początkowej r w nieskończoność jest – jak wiadomo ze szkoły –

v = Sqrt[2GM/r].

Prędkość taką mieć też będą (według teorii Newtona) spadające z bardzo wysoka ciała, które w nieskończoności poruszały się nieskończenie wolno. Okazuje się, że w teorii Einsteina, druga prędkość kosmiczna jest dana IDENTYCZNYM wzorem. Przybliżenie iż r jest odległością (a nie jest! To 2Pi*r jest OBWODEM okręgu) kompensuje się z innym zaniedbaniem, w chodzie zegarów i wynik ścisły jest ten sam.

Spadający z nieskończoności obserwator w miejscu o współrzędnej r ma prędkość v = Sqrt[2GM/r], a kwadrat jego prędkości w STOSUNKU do prędkości światła wynosi:

v^2/c^2 = 2GM/r/c^2 = R/r,

jeśli przyjąć oznaczenie R dla wielkości 2GM/c^2. To jest właśnie promień Schwartzschilda. Prędkość ucieczki osiąga tam graniczną wartość prędkości światła. A nasza półparabola tam właśnie się kończy.

Czynnik Sqrt[1-R/r] to nic innego jak Sqrt[1-v^2/c^2], słynny Lorentzowski czynnik. To on powoduje iż analiza chodu zegarów zawiera ten czynnik, oraz to, że częstotliwość sygnału wysłanego z głębi pola spada w nieskończoności o Sqrt[1-R/r]. Podobnie z kontrakcją Lorentza (przy drugiej prędkości kosmicznej dla danego punktu) wiąże się różnica między odległością ds, a różnicą współrzędnych:

dr=ds*Sqrt[1-R/r].

I jeszcze jedno. Jeśli gwiazda o masie M ma powierzchnię sięgającą powyżej 2GM/c^2, geometria opisana powyżej stosuje się tylko do obszaru zewnętrznego. Orbity o r (minimalne) < promień gwiazdy nie mają sensu bo foton, czy cząstka tak nakierowana uderzy w powierzchnię. Jeśli jest przeciwnie, mamy do czynienia z czarną dziurą i możliwe są orbity podchodzące dowolnie blisko krańcowego okręgu, a nawet go przecinające. (o ich losie dalej niewiele możemy powiedzieć). Kierując światło z dużej odległości coraz bardziej centralnie uzyskujemy jego coraz większe i większe odchylenie – nawet przekraczające 180 stopni, a nawet taką orbitę, że promień owija sie wielokrotnie zbliżając do r(min), by z „mozołem” zacząć wygrzebywać się z przepaści.

Gdy najmniejsze zbliżenie orbity zbliża się w takim eksperymencie do wartości 3/2*R, foton juz się nie oderwie, a będzie w ostateczności okrążał źródło (być może nawet nie czarną dziurę a gwiazdę o promieniu 1,3, czy 1,4 swego promienia Schwartzschilda) po okręgu. Jest to orbita niestabilna. Dowolnie małe dodatkowe zmniejszenie kąta pod jakim wysłaliśmy foton spowoduje, iż po kilku okrążeniach przetnie on w końcu r=3/2*R i zacznie coraz żwawiej zmierzać do krawędzi.