Strona głównaPytania → Grupy symetrii czasoprzestrzeni

Grupy symetrii czasoprzestrzeni

Pytanie

Pyta Oliwier

Gdyby czasoprzestrzeń miała geometrię euklidesową, uzasadnione byłoby stosowanie dla dowolnych prędkości transformacji Galileusza. Geometria czasoprzestrzeni jest jednak inna. W płaskiej czasoprzestrzeni obowiązuje metryka Minkowskiego, a w konsekwencji stosuje się transformację Lorentza. Czy w zakrzywionej czasoprzestrzeni, np. w geometrii Schwarzschilda, należy stosować inną (niż transformacja Lorentza) transformację liniową?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

W ogólnej teorii względności (OTW) czasoprzestrzeń czyli zbiór zdarzeń jest wyposażona w pewną geometrię. Dla ustalonej czasoprzestrzeni można postawić następujące pytanie: jak wygląda grupa symetrii tej czasoprzestrzeni czyli zbiór takich przekształceń czasoprzestrzeni w siebie, które zachowują jej geometrię?

W przypadku czasoprzestrzeni Minkowskiego przekształceniami zachowywującymi jej geometrię są tzw. transformacje Poincare — są to albo transformacje Lorentza, albo czasoprzestrzenne translacje (przesunięcia), albo dowolne złożenia jednych i drugich. Zbiór tych transformacji, czyli tzw. grupa Poincare, jest sama w sobie przestrzenią dziesięciowymiarową. Dowodzi się, że jest to maksymalny wymiar grupy symetrii, jaki może mieć czasoprzestrzeń w OTW.

Wspomniana w pytaniu czasoprzestrzeń Schwarzschilda ma czterowymiarową grupę symetrii, na którą składają się przestrzenne obroty (trzy wymiary) i przesunięcia w czasie (jeden wymiar). Natomiast ogromna większość czasoprzestrzeni ma grupę symetrii wymiaru zero — w tych przypadkach jedyną transformacją zachowującą geometrię czasoprzestrzeni jest transformacja identycznościowa (jest to trywialna transformacja, która każdy punkt przeprowadza na samego siebie).

Dodam jeszcze, że żadna czasoprzestrzeń (nawet czasoprzestrzeń Minkowskiego) nie ma struktury przestrzeni liniowej i w związku z tym transformacje należące do grup symetrii nie są przekształceniami liniowymi. Natomiast gdyby czasoprzestrzeń Minkowskiego miała geometrię euklidesową, to jej grupa symetrii nie byłaby grupą transformacji Galileusza, lecz grupą utworzoną z obrotów w czterowymiarowej przestrzeni i z przesunięć.

Transformacje Poincare mają też inne zastosowanie. Jest ono związane z faktem istnienia na czasoprzestrzeni Minkowskiego klasy szczególnych układów współrzędnych — każdy z tych układów jest układem współrzędnych, którymi posługuje się pewien obserwator inercjalny (innymi słowy, każdy taki układ współrzędnych utożsamiany jest z inercjalnym układem odniesienia). W takiej sytuacji naturalnym pytaniem jest pytanie o przekształcenia przeprowadzające jeden taki układ współrzędnych na drugi. Okazuje się, że przekształcenia te odpowiadają przekształceniom tworzącym grupę Poincare. Można więc powiedzieć, że transformacje Poincare pełnią w odniesieniu do czasoprzestrzeni Minkowskiego podwójną rolę: przekształcają czasoprzestrzeń w siebie zachowując jej geometrię i przeprowadzają współrzędne jednego obserwatora inercjalnego na współrzędne innego takiego obserwatora.

Czy podobna sytuacja ma miejsce w przypadku innych czasoprzestrzeni i ich grup symetrii? Raczej nie — podstawowym powodem jest to, że na innych czasoprzestrzeniach nie istnieją układy współrzędnych, które można byłoby utożsamić z inercjalnymi układami odniesienia (istnieją jedynie tzw. układy lokalnie inercjalne, o których można powiedzieć, że są z dobrym przybliżeniem inercjalne jedynie na niewielkim czasoprzestrzennym otoczeniu pewnego zdarzenia). W niektórych przypadkach grupa symetrii danej czasoprzestrzeni pozwala zdefiniować pewne szczególne układy współrzędnych, które są użyteczne, ponieważ pozwalają opisać w stosunkowo prosty sposób geometrię takiej czasoprzestrzeni. W takiej sytuacji przekształcenia przeprowadzające jeden taki układ na drugi odpowiadają przekształceniom z grupy symetrii. Taka sytuacja ma miejsce np. w przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda.