Strona głównaPytania → Jak klasyczna siła Coulomba wynika...

Jak klasyczna siła Coulomba wynika z kwantowej teorii pola?

Pytanie

Pyta Paweł

Chciałbym dokładniej zrozumieć, jak można wyjaśnić klasyczną siłę Coulomba w modelu wymiany cząstek wirtualnych. Zakładam (proszę o korektę), że skoro siła Coulomba może być wywnioskowana jako wynik wymiany wirtualnych fotonów, to w kwantowym wzorze opisującym rozproszenie elektronu na protonie versus elektronu na antyprotonie będziemy widzieli jakiś składnik, który w pierwszym przypadku możemy zinterpretować klasycznie jako „siłę przyciągającą”, a w drugim jako odpychającą. Jeśli jest to prawda to prosiłbym o wskazanie takiego składnika. Dalej zakładam, że wzór na oba rozproszenia można ograniczyć do wymiany jednego fotonu wirtualnego i nadal będziemy widzieli różnicę w obu procesach – czyli, czy żeby wyjaśnić siłę Coulomba, można się ograniczyć do wymiany 1-fotonowej? Jeśli tak, to ostatecznie chciałbym zrozumieć jak to jest możliwe, że wymiana jednego fotonu wirtualnego raz daje siłę przyciągającą, a raz odpychającą. Jaki pęd musiałby mieć wymieniamy foton wirtualny, żeby rozproszenie zaskutkowało wypadkową siłą przyciągającą? I dlaczego elektron wysyła foton wirtualny odmiennie w przypadku pierwszym, a odmiennie w przypadku drugim? Są to dość naiwne pytania, ale jestem pewien, że nurtujące sporo osób zaglądających na to i inne fora poświęcone fizyce.

Odpowiedź

Odpowiada Mikołaj Misiak

Zastanówmy się najpierw nad klasycznym (nie kwantowym) opisem zjawiska rozpraszania wywołanego przez oddziaływanie Coulomba. Dla ustalenia uwagi pomyślmy o cząstce $\alpha$ mającej ładunek $Z_1 e$, i rozpraszającej się na jądrze atomowym o ładunku $Z_2 e$, dokładnie tak, jak w słynnym eksperymencie Rutherforda.

Przyjmijmy dla uproszczenia, że jądro jest nieskończenie ciężkie, i wybierzmy układ odniesienia, w którym jądro to spoczywa. Rozważmy cząstkę $\alpha$ nadlatującą w taki sposób, że gdyby nie było oddziaływania, to przeleciałaby ona ruchem jednostajnym i prostoliniowym z prędkością $v_0$ obok jądra, a jej minimalna odległość od jądra wyniosłaby $|b|$. Wielkość $b$ nazywamy parametrem zderzenia.

Oddziaływanie Coulomba sprawi, że tor cząstki $\alpha$ po oddziaływaniu z jądrem odchyli się o kąt $\Theta$. Jest to kąt między asymptotami hiperboli, po której leci cząstka. Wartość kąta $\Theta$ zależy od ładunków elektrycznych, parametru zderzenia $b$, prędkości $v_0$ oraz masy $m$ cząstki $\alpha$. Odpowiedni wzór ma postać

$\Theta = 2 \arctan \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4\pi\epsilon_0 m v_0^2 b}$,

a jego wyprowadzenie w ramach mechaniki klasycznej można znaleźć np. pod tym odnośnikiem.

W rozważanym przez nas zjawisku oba ładunki są dodatnie; jądro i cząstka $\alpha$ odpychają się. Dla dodatniego parametru zderzenia $b$ otrzymujemy dodatni kąt $\Theta$, a dla ujemnego – ujemny. Jednak sam wzór i jego wyprowadzenie są słuszne również gdy ładunki mają przeciwny znak – wtedy iloczyn $Z_1 Z_2$ należałoby zastąpić przez liczbę ujemną, i otrzymalibyśmy ujemny kąt $\Theta$ dla dodatniego parametru zderzenia. W mechanice klasycznej proces rozpraszania pozwala nam więc odróżnić przyciąganie od odpychania, gdy znamy parametr zderzenia $b$.

W praktyce jednak nie znamy parametrów zderzenia dla każdej z cząstek $\alpha$, a jedynie wiemy coś o rozkładzie prawdopodobieństwa dla tych parametrów. W szczególności, gdy cząstki nadlatują jednorodnym strumieniem, to wyniki eksperymentu porównujemy z obliczonym teoretycznie różniczkowym przekrojem czynnym.

Wyrażenie na różniczkowy przekrój czynny $d\sigma/d\Omega$ (oraz jego wyprowadzenie w ramach mechaniki klasycznej) można znaleźć pod tym samym odnośnikiem. Zauważmy, że w wyrażeniu tym iloczyn $Z_1 Z_2$ jest podniesiony do kwadratu, czyli nic nie zależy od jego znaku. Oznacza to, że różniczkowy przekrój czynny dla rozpraszania Coulomba jest dokładnie taki sam, niezależnie od tego czy mieliśmy do czynienia z przyciąganiem czy też z odpychaniem!

Przejdźmy teraz do opisu tego samego zjawiska w mechanice kwantowej. Funkcje falowe nadlatujących cząstek opisujemy w postaci fali zbliżonej do płaskiej, a ostatecznym wynikiem obliczenia jest różniczkowy przekrój czynny. Wyprowadzenie odpowiednich wzorów można znaleźć np. na stronach 79-85 tej książki. Z pewnym zaskoczeniem stwierdzamy, że otrzymany wzór na przekrój czynny jest identyczny z otrzymanym uprzednio wzorem klasycznym – jest to szczególna własność potencjału Coulomba. Tak więc również w mechanice kwantowej różniczkowy przekrój czynny jest taki sam dla przypadków przyciągania i odpychania.

Ten sam wynik można również odtworzyć przeprowadzając obliczenia w ramach kwantowej teorii pola, i ograniczając się do przybliżenia wymiany jednofotonowej. Wychodząc poza to przybliżenie otrzymamy małe numerycznie poprawki, które będą różne w przypadkach przyciągającym i odpychającym ze względu na samooddziaływanie cząstek naładowanych (np. absorpcję przez cząstkę $\alpha$ fotonu wyemitowanego przez tę właśnie cząstkę).

Wniosek jest taki, że analiza przekroju czynnego na rozpraszanie cząstek naładowanych nie pozwala nam łatwo rozróżnić, czy cząstki przyciągają się czy odpychają. Znacznie łatwiej możemy to stwierdzić sprawdzając, czy mogą one utworzyć stan związany. Przyciągające się cząstki mogą go utworzyć, a odpychające się – nie.

Dochodzimy w końcu do zasadniczego pytania o to, jak zrozumieć przyciąganie i odpychanie w języku wymiany fotonów, i czy można przypisywać różnicę między tymi zjawiskami różnym pędom fotonów wirtualnych. Moim zdaniem w tym wypadku wyobrażanie sobie fotonów jako „przeskakujących” między oddziałującymi cząstkami punktów materialnych jest zbyt daleko idącym uproszczeniem. Rozpraszanie cząstek o takich samych bądź przeciwnych ładunkach jest opisane w ramach kwantowej teorii pola poprzez wzory, które reprezentujemy graficznie rysując diagramy Feynmana. Diagramy te wyglądają pozornie tak, jakbyśmy opisywali interakcję klasycznych cząstek naładowanych poprzez przesłanie jednej lub kilku klasycznych cząstek punktowych („fotonów”). Jednak faktycznie opisujemy proces, którego kwantowy charakter jest bardzo istotny, i nie powinniśmy nadużywać interpretacji klasycznej. W szczególności, przypadek odpychania i przyciągania będą się różniły jedynie znakami różnych wkładów do kwantowomechanicznych amplitud rozpraszania, natomiast pędy wymienianych fotonów będą w obu przypadkach identyczne. Różnicę między przypadkami przyciągania i odpychania otrzymamy na skutek interferencji amplitudy wiodącego rzędu (wymiana jednofotonowa) z amplitudą rzędu wyższego zawierającą efekty samooddziaływania.