Jak obliczyć siłę przyciągania magnesu?

Pytanie

Pyta Kamil

Jak dobrać magnes, który byłby wystarczająco mocny, aby przytrzymać lekki przedmiot (np. plastikową zawieszkę na drzwi) po drugiej stronie drzwi wewnętrznych o grubości do 5 cm z litego drewna lub sklejki? Czy jest jakiś wzór, który pozwala to mniej więcej obliczyć? (Mniej więcej, bo jest tu dużo zmiennych, jak np. grubość drzwi, materiał z jakiego są wykonane oraz waga przedmiotu, która może się wahać od 15 do 60g).

Odpowiedź

Odpowiada Adam Siemaszko

Pierwszym krokiem jest dobór przedmiotu który będzie przytrzymywany. Aby zadziałała zauważalna siła przyciągająca, przedmiot musi zostać wykonany z materiału ferromagnetycznego, czyli o dodatniej podatności magnetycznej (np. z żelaza).

Przyciąganie między magnesem i innym materiałem zachodzi, ponieważ pole magnetyczne wytwarzanie przez magnes powoduje powstanie biegunów magnetycznych w przedmiocie i w konsekwencji tymczasowo materiał ten również staje się magnesem. Zakładając, że materiał magnetyzuje się liniowo (w rzeczywistości dla wielu ferromagnetyków magnetyzacja jest nieliniowa i zachodzi zjawisko histerezy) magnetyzacja materiału jest wyrażona wzorem $M=\chi H$ gdzie $\chi$  to podatność magnetyczna, a $H$ to natężenie pola magnetycznego w otoczeniu materiału. Z tego otrzymujemy moment magnetyczny $m=MV$ gdzie $V$ to objętość materiału.

Znając natężenie pola magnetycznego wokół dipola o momencie magnetycznym $m$ w zależności od odległości

$$
H(r)=\frac{1}{4\pi}\frac{3\hat{r}(m\cdot \hat{r})-m}{|r|^3}
$$

można obliczyć moment powstałego magnesu i w konsekwencji siłę przyciągającą między nimi.

$$
F(r,m_1,m_2)=\frac{3\mu _0}{4\pi r^4}[(\hat{r}\times m_1)\times m_2 + (\hat{r}\times m_2)\times  m_1 – 2\hat{r}(m_1 \cdot m_2)+5\hat{r}((\hat{r} \times m_1) \cdot (\hat{r}\times m_2))].
$$

Ponieważ $m_1$ i $m_2$ są równoległe do siebie i łączącego je wektora, siła wynosi

$$
F(r,m_1,m_2)=\frac{3\mu _0}{4\pi r^4}2m_1m_2.
$$

Siła ta pomnożona przez współczynnik tarcia statycznego musi być większa od siły grawitacji. Ostatecznie otrzymujemy zatem $\frac{3V\chi m_{1}^{2}\mu_0}{4\pi^2r^7}f=mg$, zatem moment magnetyczny potrzebnego magnesu $m_1=\sqrt{\frac{4\pi^2mgr^7}{3V\chi\mu_0f}}$.