Strona głównaPytania → Jak obliczyć strumień pola elektrycznego...

Jak obliczyć strumień pola elektrycznego dla półsfery?

Pytanie

Pyta Piotr

Jak obliczyć strumień pola elektrycznego dla powierzchni półkuli (półsfery), która znajduje się w jednorodnym polu elektrycznym? Czy strumień wynosi tyle samo na płaskiej jak i wypukłej powierzchni półkuli?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Strumień przechodzący przez obie te powierzchnie jest taki sam. Aby obliczyć strumień należy zsumować (a w zasadzie odcałkować) wkłady (infinitezymalne) strumieni przechodzących przez każdy infinitezymalny kawałek powierzchni $\vec{dS}$ (gdzie $\vec{dS}$ oznacza wektor o długości odpowiadającej polu powierzchni $dS$ i skierowany prostopadle do tego elementu powierzchni). Taki wkład do strumienia dany jest iloczynem skalarnym wektora pola elektrycznego $\vec{E}$ oraz wektora $\vec{dS}$, czyli $\vec{E}\cdot \vec{dS} = E\cdot dS\cdot \cos\phi$, gdzie $E$ oznacza długość wektora $\vec{E}$, natomiast $\phi$ to kąt między $\vec{E}$ oraz $\vec{dS}$. Obecność członu $\cos \phi$ implikuje, że wkład od elementu powierzchni ustawionego pod jakimś niezerowym kątem do kierunku jednorodnego pola elektrycznego będzie taki sam, jak wkład pochodzący od rzutu takiego elementu powierzchni na kierunek pola. W szczególności, jeśli element powierzchni jest ustawiony prostopadle do kierunku pola, to $\phi=0$, a zatem $\cos\phi=1$ i strumień wynosi $E\cdot dS$. Z kolei dla elementu powierzchni ustawionego wzdłuż linii pola mamy $\phi=90^{\textrm{o}}$, a wtedy $\cos\phi=0$, czyli strumień też wynosi zero (analogicznie do faktu, iż padający pionowo deszcz nie może wlecieć do otwartego okna, którego powierzchnia ustawiona jest właśnie wzdłuż linii padającego deszczu  — w takim przypadku też można powiedzieć, że (o ile nie wieje wiatr) strumień padającego deszczu przez otwarte okno wynosi zero). W konsekwencji, sumując takie infinitezymalne wkłady dla zakrzywionej powierzchni — np. półsfery — otrzymujemy taki sam strumień, jak dla powierzchni płaskiej.