Strona głównaPytania → Jak przedstawić pole grawitacyjne?

Jak przedstawić pole grawitacyjne?

Pytanie

Pyta Ryszard

Czy pole grawitacyjne można rozdzielić na dwa bądź więcej wzajemnie indukujących się prostszych pól (tak jak tensor pola elektromagnetycznego można zapisać w postaci dwóch wektorów — pola magnetycznego i elektrycznego)?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Można — matematycznie możliwości jest tu bardzo dużo, ale nie wszystkie z nich są użyteczne. Poniżej zostaną przedstawione dwa dość często stosowane przykłady takiego rozdzielenia. Przedtem jednak dobrze będzie przypomnieć, że w ogólnej teorii względności pole grawitacyjne jest opisane za pomocą tzw. metryki lorentzowskiej. Metryka lorentzowska jest to pole tensorowe, które każdemu punktowi czasoprzestrzeni przypisuje iloczyn (pseudo)skalarny o sygnaturze $(-,+,+,+)$ (lub $(+,-,-,-)$ w zależności od przyjętej konwencji) działający na wektory styczne do czasoprzestrzeni w tym punkcie. Wybierając na pewnym obszarze czasoprzestrzeni układ współrzędnych $(x^0,x^1,x^2,x^3)\equiv (x^\mu)_{\mu=0,1,2,3}$ metrykę $g$ można przedstawić za pomocą kompletu szesnastu funkcji
\begin{equation}
g=\begin{pmatrix}
g_{00}&g_{01}&g_{02}&g_{03}\\
g_{10}&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\
g_{20}&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\
g_{30}&g_{31}&g_{32}&g_{33}
\end{pmatrix}\equiv(g_{\mu\nu})_{\mu,\nu=0,1,2,3}
\label{g}
\end{equation}
powiązanych w pewien sposób z wybranym układem współrzędnych, zwanych składowymi metryki (funkcje te nie mogą być zupełnie dowolne, ale nie będziemy się tu zagłębiać w tę kwestię).

Przykład 1. Jednym ze stosowanych w praktyce sposobów rozdzielania metryki na inne pola jest zapisanie jej za pomocą czwórki jednoform $(\theta^0,\theta^1,\theta^2,\theta^3)\equiv(\theta^A)_{A=0,1,2,3}$ — jednoforma jest to pole tensorowe, które każdemu punktowi czasoprzestrzeni przypisuje funkcję liniową działającą na wektory styczne do czasoprzestrzeni w tym punkcie. Rozdzielenie metryki na jednoformy wygląda następująco — każdą składową metryki zapisujemy w postaci
\[
g_{\mu\nu}=\sum_{A,B=0}^3\eta_{AB}\theta^A_\mu\theta^B_\nu,
\]
gdzie $\theta^A_\mu$ jest składową jednoformy w układzie współrzędnych $(x^\mu)$, a liczby $\{\eta_{AB}\}$ tworzą macierz
\[
(\eta_{AB})=\begin{pmatrix}
-1&0 & 0 &0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix}.
\]

Przykład 2. Niech $(x^0,x^1,x^2,x^3)$ będzie układem współrzędnych na czasoprzestrzeni, którego współrzędne $(x^1,x^2,x^3)\equiv (x^i)_{i=1,2,3}$ są współrzędnymi przestrzennymi. Te współrzędne wyróżniają z czterowymiarowej czasoprzestrzennej metryki \eqref{g} trójwymiarową przestrzenną metrykę
\begin{equation}
\bar{g}=\begin{pmatrix}
g_{11}&g_{12}&g_{13}\\
g_{21}&g_{22}&g_{23}\\
g_{31}&g_{32}&g_{33}
\end{pmatrix}\equiv(g_{ij})_{i,j=1,2,3}.
\label{g-bar}
\end{equation}
Wtedy istnieje funkcja $N$ zwana funkcją upływu czasu oraz trójwymiarowe pole wektorowe $\vec{N}$ o składowych $(N^1,N^2,N^3)\equiv (N^i)_{i=1,2,3}$ zwane polem przesunięcia takie, że metryka \eqref{g} przyjmuje postać
\begin{equation*}
g=\begin{pmatrix}
-N^2+\sum_{i,j=1}^3 N^iN^j g_{ij} \,&\sum_{j=1}^3 g_{j1}N^j\,&\sum_{j=1}^3 g_{j2}N^j\,&\sum_{j=1}^3 g_{j3}N^j\\
\sum_{i=1}^3 g_{1i}N^i&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\
\sum_{i=1}^3 g_{2i}N^i&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\
\sum_{i=1}^3 g_{3i}N^i&g_{31}&g_{32}&g_{33}
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
Zatem powyższe rozłożenie jest rozłożeniem metryki \eqref{g} na metrykę \eqref{g-bar}, funkcję $N$ i pole wektorowe $\vec{N}$.