Strona głównaPytania → Jak rozwija się matematyka?

Jak rozwija się matematyka?

Pytanie

Pyta Adam

Moje pytanie jest bardziej związane z matematyką niż z fizyką, ale liczę na odpowiedź. Jak rozwija się matematyka? Czy ludzkość kiedykolwiek doczeka się Matematycznej Teorii Wszystkiego, kiedy wszystkie zależności między wszystkim zostaną ODKRYTE przez człowieka, czy też można cały czas brać pod uwagę coraz to nowe (i abstrakcyjne) założenia? Czy matematyka się kiedyś skończy? Bo fizyka zapewne tak, wraz z Teorią Wszystkiego. Pytam wiedząc o odkryciu Kurta Gödla, i jestem ciekawy tym bardziej.

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Matematyka, jak każda inna dziedzina nauki, rozwija się w sposób, który określić można jako nieprzewidywalny — co jakiś czas zdarzają się przełomowe odkrycia, czy też formułowane są nowe hipotezy lub teorie, które stają się dominujące, natomiast kierunki, które były dominujące wcześniej, tracą zainteresowanie. Nie sposób zatem przewidzieć dalszego jej rozwoju. Natomiast warto zauważyć, że ogromną rolę w rozwoju matematyki odgrywa fizyka — wielokrotnie w historii dostarczała ona motywacji i problemów, które zasadniczo zmieniały postać matematyki. Jedna z najstarszych gałęzi matematyki, czyli geometria, jak dobrze wiemy (i jak jej nazwa wskazuje) wywodzi się z pomiarów ziemi, czyli problemów związanych z fizycznym światem. Podstawowe obecnie narzędzia matematyczne, czyli rachunek różniczkowy i całkowy, mają swe źródło w próbie zrozumienia i opisania ruchu przez Newtona. Z kolei wiele współczesnych działów matematyki wywodzi się z próby zrozumienia mechaniki kwantowej. Z bardzo dużym prawdopodobieństwem można zatem stwierdzić, że dopóki fizyka będzie się rozwijała, to matematyka także będzie się rozwijała.

Na pytanie, czy możliwe jest odkrycie wszystkich zależności matematycznych, również nie da się podać ścisłej odpowiedzi — choć pewnie wielu naukowców przychyliłoby się do stwierdzenia, że nie jest to możliwe. W pewnym sensie wynika to właśnie z przytoczonego odkrycia Gödla, czyli faktu, że w każdym systemie aksjomatów można wypowiedzieć zdanie, którego w ramach tego systemu nie można ani udowodnić, ani obalić. Zatem każdy system aksjomatów można powiększyć, co w konsekwencji prowadzi do nowych zależności, i w ten sposób matematykę rozwijać można by bez końca.

Jeśli chodzi o „fizyczną teorię wszystkiego”, to po pierwsze nie ma gwarancji, że kiedykolwiek da się ją stworzyć — a nawet jeśli tak, to jej sformułowanie wcale nie oznacza końca fizyki. Można powiedzieć, że na sformułowaniu jakiejś teorii fizyka jeszcze się nie kończy, lecz dopiero zaczyna, a samo rozwiązanie (równań) takiej teorii jest nie mniej ważną częścią fizyki. Można w tym kontekście przywołać porównanie do gry w szachy — sformułowanie zasad tej gry (czyli tego, w jaki sposób mogą poruszać się figury) odpowiada sformułowaniu jakiejś teorii, natomiast rozegranie partii — pewnemu konkretnemu rozwiązaniu tej teorii. Choć zasady gry w szachy sformułowane zostały dawno temu i są powszechnie znane, to wciąż rozgrywane są nowe partie, wymyślane zaskakujące kombinacje, rozgrywane turnieje, etc. Z całą pewnością ewentualna „teoria wszystkiego”, jeśli zostanie sformułowana, to będzie bardziej skomplikowana niż gra w szachy, a analiza jej rozwiązań dostarczy zajęcia nie mniejszej (niż szachy) liczbie pokoleń.