Strona głównaPytania → Jaką energię ma foton?

Jaką energię ma foton?

Pytanie

Pyta Oliwier

Mam pytanie dotyczące ogólnie natury fotonu. Mechanika kwantowa określa energię fotonu jako $E=h f$. Jest to zgodne oczywiście z opisem mechaniki relatywistycznej, dla fotonu w próżni, czyli takiego, którego prędkość jest równa $c$. Wzór na energię w STW ma postać $E=\gamma m_0 c^2$, gdzie $\gamma$ to czynnik Lorentza. Dla fotonu korzystając z podanego wzoru na energię otrzymujemy co prawda symbol nieoznaczony, ale wiemy, że mimo zerowej masy spoczynkowej ma on niezerową energię, a więc także masę relatywistyczną. Co jeśli foton będzie się poruszał w ośrodku o stosunkowo małej przenikalności elektrycznej i magnetycznej, a więc będzie poruszał się wolniej niż z prędkością $c$? Korzystając wtedy ze wzoru $E=\gamma m_0 c^2$ dochodzimy do wniosku, że energia fotonu w tym ośrodku jest zerowa, a nie równa $E=h f$, tak jak przewiduje to mechanika kwantowa. Gdzie jest zatem błąd w moim rozumowaniu?

Odpowiedź

Odpowiada Mikołaj Misiak

Błąd w rozumowaniu polega na zastosowaniu wzoru opisującego masywne cząstki w próżni do propagacji fali elektromagnetycznej w ośrodku. W tym ostatnim przypadku ograniczmy nasze rozważania do ośrodków jednorodnych i izotropowych, których przenikalność elektryczna $\epsilon$ i magnetyczna $\mu$ są niezależne od częstości fali elektromagnetycznej. Prędkość rozchodzenia się tej fali wynosi $v = 1/\sqrt{\epsilon \epsilon_0 \mu \mu_0}$, i staje się mniejsza od $c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}$, gdy $\mu \epsilon > 1$. Nasz opis fali w ośrodku nie jest jednak opisem mikroskopowym — zaniedbujemy atomową („ziarnistą”) strukturę ośrodka, i opisujemy propagację fali elektromagnetycznej tak, jakby poruszała się w ośrodku jednorodnym. Tak przybliżone pole elektromagnetyczne w ośrodku możemy poddać procedurze kwantyzacji, i mówić w tym kontekście o poruszających się ze stałą prędkością efektywnych fotonach. Musimy jednak cały czas pamiętać, że do fotonów efektywnych nie stosują się wszystkie prawa, które znamy dla fotonów w próżni.

Funkcje falowe cząstek poruszających się ze stałą prędkością są superpozycją fal płaskich postaci $\exp[i\vec{k}\cdot\vec{r} – i\omega t]$, gdzie $\vec{k}$ nazywamy wektorem falowym (proporcjonalnym do pędu cząstki), a $\omega$ jest częstością (proporcjonalną do energii cząstki). Związek między $|\vec{k}|$ a $\omega$ nazywamy związkiem dyspersyjnym. Dla cząstek bezmasowych w próżni mamy proporcjonalność $\omega \sim |\vec{k}|$, a dla cząstek masywnych w próżni związek dyspersyjny przyjmuje postać $\omega \sim \sqrt{\vec{k}^2 + a^2}$, gdzie $a$ proporcjonalne jest do masy cząstki. Dla efektywnych fotonów w ośrodku dostajemy $\omega \sim |\vec{k}|$, więc należałoby je interpretować jako cząstki bezmasowe.