Strona głównaPytania → Jaki będzie wynik interferencji fal...

Jaki będzie wynik interferencji fal biegnących względem siebie nierównolegle?

Pytanie

Pyta Adrian Sulich

Jaki będzie wynik interferencji dwóch fal biegnących względem siebie nierównolegle? Jak uwzględnić w równaniach taką różnicę kierunków? Gdzie ewentualnie można znaleźć szczegółowe informacje na ten temat (w powszechnie dostępnych materiałach rozważa się tylko najprostsze przypadki fal biegnących równolegle lub w przeciwnych kierunkach)?

Odpowiedź

Odpowiada Damian Zdulski

W wyniku interferencji dwóch koherentnych fal w 2 lub więcej wymiarach, biegnących w różnych kierunkach, podobnie jak w przypadku fal poruszających się w tych samym kierunku, powstanie regularny przestrzenny rozkład obszarów gdzie amplituda wypadkowej fali będzie ulegać wzmocnieniu lub wygaszeniu. Różnica będzie w jego kształcie i w tym, że linie prążków interferencyjnych nie muszą być prostopadłe do kierunku ruchu fali. Oprócz tego dla fal innych niż płaskie amplituda spada wraz z odległością od źródła, co skutkuje tym, że nie będzie zachodzić całkowite wzmocnienie i wygaszenie fal poza powierzchniami równej odległości od obu źródeł. Interferencję fal w więcej niż 1 wymiarze na przykładzie fal kulistych ilustruje ta animacja. Widać z niej, że powierzchnie wzmocnienia i wygaszenia fali w tym przypadku tworzą hiperbole.

Matematycznie kierunek poruszania się fali uwzględnia się poprzez stowarzyszony z nią wektor falowy $\vec{k}$, który jest prostopadły do powierzchni stałej fazy i zawsze występuje we wzorze opisującym ruch fali. Na przykład dla fal płaskich w więcej niż 1 wymiarze równanie fali ma postać $$ y=A \sin(\vec{k}\cdot \vec{r}-\omega t-\varphi),$$ gdzie $y$ to wychylenie, $A$ to amplituda, $\vec{r}$ to odległość od początku układu współrzędnych, $\omega$ to częstość fali, $\varphi$ to przesunięcie fazowe, a kropka $”\cdot”$ między wektorami symbolizuje iloczyn skalarny. Każdą falę można rozłożyć na sumę fal płaskich o różnych amplitudach i wektorach falowych. Dlatego jako modelowy przykład rozpatrzmy superpozycję dwóch identycznych fal nieporuszających się koniecznie równolegle. W takim przypadku wypadkowe wychylenie wynosi $$ y=y_{1}+y_{2}=A \sin(\vec{k}_{1}\cdot \vec{r}-\omega t-\varphi_{1})+A \sin(\vec{k}_{2}\cdot \vec{r}-\omega t-\varphi_{2}),$$

a po przekształceniach trygonometrycznych otrzymujemy $$y=2A\cos(\vec{k}_{R}\cdot \vec{r}-\varphi_{R})\sin(\vec{k}_{S}\cdot \vec{r}-\omega t-\varphi_{S}),$$ gdzie $\vec{k}_{S}=\frac{\vec{k}_{1}+\vec{k}_{2}}{2}$, $\vec{k}_{R}=\frac{\vec{k}_{1}-\vec{k}_{2}}{2}$, $\varphi_{S}=\frac{\varphi_{1}+\varphi_{2}}{2}$  oraz $\varphi_{R}=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2}$. Jest to równanie fali płaskiej poruszającej się w kierunku wektora falowego $\vec{k}_{S}$, której amplituda jest modulowana przez człon z kosinusem. Odpowiada on za powstanie prążków interferencyjnych, których linie są położone prostopadle do kierunku wektora $\vec{k}_{R}$. Potwierdza to wspomniany wcześniej fakt, że w ogólności kierunek poruszania się fali nie musi być prostopadły do kierunku prążków interferencyjnych.

Maksymalne wzmocnienie lub wygaszenie fali następuje, gdy kosinus przyjmuje wartości ekstremalne lub zero. Odpowiada to warunkowi $$\vec{k}_{R}\cdot \vec{r}-\varphi_{R}=n\pi$$ dla wzmocnienia oraz $$\vec{k}_{R}\cdot \vec{r}-\varphi_{R}=(n+\frac{1}{2})\pi$$ dla wygaszenia, gdzie $n$ to liczba całkowita.

Dalszą analizę wzorów interferencyjnych w powyższej sytuacji przedstawiono tutaj oraz tutaj. Natomiast tutaj można znaleźć analogiczne rachunki dla fal kulistych.