Strona głównaPytania → Jakie jest fizyczne znaczenie $r$...

Jakie jest fizyczne znaczenie $r$ w metryce Schwarzschilda?

Pytanie

Pyta Rafał

Jakie jest fizyczne znaczenie $r$ w metryce Schwarzschilda? Z tego co wiem, Einstein formułując swoją teorię względności bardzo dbał o to, aby wszystkie używane tam pojęcia miały dobrze określoną interpretację fizyczną (przynajmniej „w zasadzie”). Odległości dawały się zmierzyć sztywnym prętem albo czasem przelotu błysku światła, czasy porównać zegarami, itp. Pojęcia nie mające takiej interpretacji odrzucał. Jaka jest więc interpretacja fizyczna parametru $r$ we wzorze na metrykę Schwarzschilda? Utarte wyjaśnienie jest takie, że $r$ jest to „odległość” od środka masy M, którą może być czarna dziura. Ale co wtedy dokładnie znaczy odległość? Przecież nie można nawet „w zasadzie” sprawdzić, ile razy dany pręt miarowy zmieści się w czarnej dziurze, ani „przyłożyć” linijki z zewnątrz, ani np. umieścić lusterka na horyzoncie i użyć błysku światła z odległego źródła w celu wyznaczenia odległości (metoda radarowa). Wydaje mi się, że nie istnieje fizyczna interpretacja $r$ dla czarnej dziury – a może się mylę? A jeśli nie istnieje, to jak to możliwe, że tak źle określone pojęcie wynika z „porządnej” teorii Einsteina?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Być może jest prawdą, że Einstein konstruując szczególną teorię względności (STW) skrupulatnie pilnował, aby nie używać pojęć nie posiadających przejrzystej interpretacji fizycznej. Natomiast rozszerzając STW do ogólnej teorii względności (OTW) świadomie zrezygnował z tego podejścia — ta rezygnacja była konsekwencją sposobu, w jaki Einstein dokonał tego rozszerzenia.

Otóż w STW, podobnie jak w mechanice newtonowskiej, obowiązuje zasada względności, która mówi, że jeżeli w jednym inercjalnym układzie odniesienia $U$ obowiązuje pewne prawo fizyczne to takie samo prawo obowiązuje w układzie odniesienia $U’$, który porusza się względem układu $U$ ruchem jednostajnym prostoliniowym. Einstein nazwał tą zasadę szczególną zasadą względności, ponieważ dotyczy ona nie wszystkich układów odniesienia, lecz ich szczególnej klasy.

Einstein uznał, że warto jest rozszerzyć zasadę względności na wszystkie układy odniesienia. Sformułowana przez niego ogólna zasada względności stwierdza, że prawo fizyki jest prawem, które daje się zastosować do czy też wyrazić w każdym układzie odniesienia, niezależnie od jego ruchu względem innych układów. I dzięki takiemu uogólnieniu zasady względności udało mu się rozszerzyć STW do OTW, która jest nie tylko teorią czasoprzestrzeni, lecz również teorią grawitacji.

Każdy układ odniesienia definiuje współrzędne na czasoprzestrzeni (lub na jakimś jej podzbiorze) — w przypadku układu inercjalnego w mechanice newtonowskiej i w STW współrzędne czasu i przestrzeni są definiowane przy użyciu zegarów i prętów mierniczych i dzięki temu mają prostą i naturalną interpretację fizyczną. Ale równoprawne traktowanie wszystkich układów odniesienia w OTW, czego domaga się ogólna zasada względności, wymusiło dopuszczenie na równych prawach wszystkich możliwych układów współrzędnych na czasoprzestrzeni, które są akceptowalne z matematycznego punktu widzenia — OTW dopuszcza wszystkie „krzywoliniowe” układy współrzędnych. Różnorodność takich współrzędnych jest ogromna i nie ma możliwości, aby im wszystkim nadać interpretację fizyczną — w rzeczywistości te współrzędne, dla których taką interpretację da się znaleźć, są dużym wyjątkiem.

Jak już wspomniałem, Einstein doskonale zdawał sobie z tego sprawę — w tej pracy z 1916 roku opisującej podstawy OTW napisał wprost, że w tej teorii przestrzeń i czas nie mogą być zdefiniowane w ten sposób, aby różnice pomiędzy współrzędnymi przestrzennymi były bezpośrednio mierzalne za pomocą jednostkowego pręta pomiarowego, a różnice pomiędzy współrzędną czasową za pomocą standardowego zegara. Można więc powiedzieć, że Einstein formułując OTW zredukował rolę układu współrzędnych do jednoznacznego numerowania czy też etykietowania zdarzeń tworzących czasoprzestrzeń.

Nie ma zatem powodu oczekiwać, aby schwarzschildowska współrzędna $r$ miała jakąkolwiek rozsądną interpretację. Okazuje się jednak, że coś na temat tej współrzędnej można powiedzieć. Otóż metryka Schwarzschilda jest metryką sferycznie symetryczną — oznacza to, że całą czasoprzestrzeń Schwarzschilda można przedstawić jako (nieskończoną) sumę nieprzecinających się sfer o tej własności, że na każdej takiej sferze wszystkie punkty są równoważne z punktu widzenia metryki (innymi słowy, metryka nie wyróżnia żadnego punktu na takiej sferze). Współrzędna $r$ przyjmuje stałą wartość na każdej z rozważanych sfer i określa pole powierzchni takiej sfery — pole to jest równe $4\pi r^2$. Geometria czasoprzestrzeni Schwarzschilda nie daje jednak podstaw do uznania wartości $r$ za długość promienia sfery.