Strona głównaPytania → Jakie są granice stosowalności zasad...

Jakie są granice stosowalności zasad dynamiki Newtona?

Pytanie

Pyta Krystian

Jakie są granice stosowalności zasad dynamiki Newtona? Czytałem, że drugą zasadę trzeba przeformułować tak, aby była ona poprawna w mechanice relatywistycznej. A co z zasadą I i III? Czy są one zawsze poprawne?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

I zasada dynamiki Newtona jest w zasadzie postulatem mówiącym o istnieniu inercjalnego układu odniesienia – aczkolwiek jej standardowe sformułowanie na to nie wskazuje, to należy ją rozumieć tak, że istnieje układ odniesienia, w którym każde ciało swobodne porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym (ciało swobodne to takie, na które nie działają żadne siły lub działają siły, które się równoważą). Ów układ odniesienia to właśnie układ inercjalny.

Z punktu widzenia ogólnej teorii względności granice stosowalności I zasady dynamiki Newtona wyznacza pole grawitacyjne, a dokładniej mówiąc jego niejednorodności. W niejednorodnym polu grawitacyjnym nie istnieją układy inercjalne, istnieją jedynie tzw. lokalnie inercjalne układy odniesienia, które są w przybliżeniu inercjalne i co więcej, ta przybliżona inercjalność obowiązuje w ograniczonym obszarze i w ograniczonym czasie.

III zasada dynamiki Newtona może być interpretowana jako zasada zachowania pędu. Uzasadnienie tej interpretacji ma swoje źródło w II zasadzie dynamiki Newtona, która mówi, że iloczyn masy $m$ ciała i jego przyspieszenia $\vec{a}$ jest równy sile $\vec{F}$ działającej na to ciało:
\[
\vec{F}=m\vec{a}.
\]
Ale przyspieszenie jest pochodną prędkości $\vec{v}$ ciała po czasie $t$, zatem
\[
\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}=\frac{d\vec{p}}{dt},
\]
gdzie $\vec{p}=m\vec{v}$ jest pędem ciała. Płynie stąd wniosek, że zmiana pędu ciała w czasie jest równa działającej nań sile.

Wracając do III zasady: mówi ona o tym, że jeżeli ciało $a$ działa na ciało $b$ siłą $\vec{F}_{ab}$ to wtedy ciało $b$ działa na ciało $a$ siłą $\vec{F}_{ba}$ taką, że
\[
0=\vec{F}_{ab}+\vec{F}_{ba}.
\]
Skoro siła $\vec{F}_{ab}$ opisuje zmianę w czasie pędu $\vec{p}_a$ ciała $a$, a siła $\vec{F}_{ba}$ zmianę w czasie pędu $\vec{p}_b$ ciała $b$ to III zasada dynamiki może być zapisana następująco:
\[
0=\frac{d\vec{p}_a}{dt}+\frac{d\vec{p}_b}{dt}=\frac{d(\vec{p}_a+\vec{p}_b)}{dt}.
\]
Powyższe równanie oznacza, że suma pędów $\vec{p}_a+\vec{p}_b$ obydwu oddziałujących ze sobą ciał pozostaje stała podczas oddziaływania (innymi słowy, przyrost pędu jednego ciała zachodzi kosztem ubytku pędu drugiego ciała).

III zasada dynamiki może nie być spełniona, jeżeli ciała poruszają się względem siebie i oddziałują na siebie za pośrednictwem pewnego pola. Standardowym przykładem ciał, dla których III zasada dynamiki nie jest spełniona są dwa poruszające się względem siebie ładunki elektryczne – suma pędu tych ładunków nie jest stała w czasie. Jest tak dlatego, że oddziaływanie pomiędzy ładunkami czyli przekaz pędu między nimi zachodzi za pośrednictwem pole elektromagnetycznego, które również posiada pewien pęd. I ten pęd musi zostać uwzględniony, aby prawo zachowania pędu było spełnione.