Strona głównaPytania → Liczba Pi i jej zastosowania...

Liczba Pi i jej zastosowania w fizyce

Pytanie

Pyta karol

Jakie zastosowania w fizyce ma liczba $\pi$? Czemu niemożliwe jest podanie jej dokładnej wartości?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Liczba $\pi$ jest liczbą niewymierną, tzn. nie można przedstawić jej w postaci ułamka (ilorazu dwóch liczb całkowitych) — w związku z tym podanie jej ścisłej wartości wymagałoby wypisania nieskończonego ciągu cyfr (rozwinięcia dziesiętnego). Nie mamy jednakże ani miejsca, ani czasu, by taki nieskończony ciąg wypisać; pierwszy milion cyfr dziesiętnego rozwinięcia liczby $\pi$ wypisany jest tutaj, natomiast dowody, że $\pi$ jest liczbą niewymierną, omówione są tutaj. Liczba $\pi$ jest nie tylko niewymierna, ale także przestępna (nie da jej się przedstawić jako rozwiązania równania wielomianowego o wymiernych współczynnikach); konsekwencją tego faktu jest m.in. to, że nie jest możliwe dokonanie kwadratury koła.

Dokładną wartość liczby $\pi$ można jednak przedstawić na wiele sposobów, np. jako nieskończoną sumę takiej postaci:

$$
\pi = \frac{4}{1} – \frac{4}{3} + \frac{4}{5} – \frac{4}{7} + \ldots
$$

Co prawda w tej sumie występuje nieskończenie wiele wyrazów, więc (z braku miejsca i czasu) nie możemy jawnie wypisać ich wszystkich — wiemy jednakże ile każdy ($n$-ty) z nich wynosi (czyli $-(-1)^n\frac{4}{2n-1}$), i liczba $\pi$ jest po prostu sumą takich składników.

(W pewnym sensie jest to analogiczna sytuacja do przedstawienia np. (wymiernej) liczby $\frac{1}{9}$ jako $\frac{1}{9} = \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+\ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{10^n}$. W tym przypadku też mamy do czynienia z nieskończoną liczbą wyrazów, których wszystkich jawnie nie jesteśmy w stanie wypisać; wiemy jednak, że każdy z nich jest postaci $\frac{1}{10^n}$, a ich suma to właśnie wymierna liczba $\frac{1}{9}$.)

Znamy także wiele innych sposobów przedstawienia innych wielkości blisko związanych z liczbą $\pi$, np.

$$
\pi^2 = 6\Big( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots \Big)
$$

W fizyce liczba $\pi$ pojawia się w różnych kontekstach i występuje w wielu istotnych wzorach — zazwyczaj jest to konsekwencją mniej lub bardziej oczywistego związku danego problemu z geometrią okręgu lub sfery. Np. w mechanice klasycznej $\pi$ występuje we wzorze na okres drgań $T$ wahadła (matematycznego) o długości $d$ (umieszczonego w polu grawitacyjnym $g$)

$$
T = 2\pi\sqrt{\frac{d}{g}}.
$$

Liczba $\pi$ pojawia się też we wzorze Stokesa określającym siłę oporu $F$ wywieraną na kulkę o promieniu $R$, poruszającą się z prędkością $v$ w płynie o lepkości $\eta$

$$
F = 6\pi R v \eta.
$$

Liczba $\pi$ występuje też w wielu wzorach związanych z mechaniką kwantową, w szczególności w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga

$$
\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi},
$$

gdzie $h$ jest stałą Plancka. W związku z częstym występowaniem liczby $\pi$ w mechanice kwantowej używa się często przeskalowanej stałej Plancka $\hbar$ (tzw. „h kreślone”), zdefiniowanej jako

$$
\hbar = \frac{h}{2\pi}.
$$

Kilka innych wzorów fizycznych w których pojawia się liczba $\pi$ (a także zależności matematycznych w których $\pi$ występuje) znaleźć można tutaj.