W nawiązaniu do pytania o tym czy relatywistyczna masa-energia jest równoważna masie grawitacyjnej, mam następujące pytanie: czy możliwe jest, aby układ zapadł się w czarną dziurę z powodu wzrostu jego masy-energii spowodowanego wzrostem prędkości? Jeśli tak, to jak można wytłumaczyć następujący paradoks: wyobraźmy sobie dwa identyczne układy 1 i 2. Kiedy układ 1 porusza się względem układu 2 z prędkością bliską prędkości światła i wciąż przyśpiesza, to obserwatorowi w układzie 1 wydaje się, że masa układu 2 wzrasta, ale obserwatorowi w układzie 2 wydaje się, że to masa układu 1 wzrasta. Jeśli masa układu 1 zdaniem obserwatora w układzie 2 przekroczy masę krytyczną, to układ 1 zapadnie się w czarną dziurę. Ponieważ układy są identyczne, to obserwator w układzie 1 zobaczy z kolei, że układ 2 zapadł się w czarną dziurę. Ponieważ istnienie czarnej dziury nie jest względne (nie zależy od układu odniesienia) mamy więc paradoks…
Masa relatywistyczna i paradoksalna czarna dziura
Pytanie
Odpowiedź
Zacznijmy może od tego, że z punktu widzenia ogólnej teorii względności (OTW) nie jest możliwe, aby układ rozumiany jako układ odniesienia zapadł się w czarną dziurę, gdyż w tej teorii układ odniesienia jest systemem etykietowania zdarzeń poprzez przypisywanie im w jednoznaczny sposób czwórki liczb i z założenia wpływ tego systemu na pole grawitacyjne jest zaniedbywany, tzn. przyjmuje się, że ten system nie wytwarza własnego pola grawitacyjnego (co oczywiście jest pewną idealizacją). Tym niemniej postawiony problem można łatwo przeformułować tak, aby usunąć z niego powyższy mankament.
Rozważmy mianowicie dwa poruszające się względem siebie układy odniesienia $\cal U$ i ${\cal U}’$ oraz ciało fizyczne $C$ spoczywające względem układu $\cal U$. Przyjmijmy, że masa ciała $C$ mierzona w układzie $\cal U$ jest zbyt mała, aby utworzyło ono czarną dziurę. Ale jeżeli prędkość układu ${\cal U}$ (a zatem i ciała $C$) względem układu ${\cal U}’$ zbliża się do prędkości światła, to w układzie ${\cal U}’$ masa (energia) ciała $C$ rośnie nieograniczenie. Czy zatem możliwe jest aby ten wzrost masy ciała $C$ spowodował, aby z punktu widzenia układu ${\cal U}’$ utworzyło ono czarną dziurę?
Odpowiedź na to pytanie jest negatywna — czarna dziura nie może powstać w opisany powyżej sposób. Jest tak z trzech powodów:
- w odróżnieniu od grawitacji newtonowskiej w OTW źródłem pola grawitacyjnego jest nie tylko masa (energia) ciała, lecz również jego pęd — ściśle mówiąc źródłem pola grawitacyjnego w OTW jest tzw. tensor energii-pędu, który opisuje łącznie następujące wielkości: gęstość energii danego ciała, strumień tej energii, gęstość pędu tego ciała oraz strumień tego pędu;
- tensor energii-pędu jest obiektem niezależnym od układu odniesienia;
- równania Einsteina opisujące związek pomiędzy tensorem energii-pędu a generowanym przez niego polem grawitacyjnym również nie zależą od układu odniesienia.
Skoro więc ciało $C$ nie wytwarza czarnej dziury w układzie $\cal U$ to nie może wytworzyć jej w układzie ${\cal U}’$.
Innymi słowy: w układzie ${\cal U}$ ciało $C$ będące źródłem pola grawitacyjnego posiada pewną masę (energię) $m$ i zerowy pęd, a w układzie ${\cal U}’$ to samo ciało posiada masę większą od masy $m$ i niezerowy pęd. Zatem ze zmianą układu odniesienia związana jest zmiana masy i zmiana pędu ciała $C$. Zarówno zmiana masy jak i zmiana pędu rozpatrywane oddzielnie wpływają na pole grawitacyjne, ale równania Einsteina opisujące ten wpływ są tak sprytnie skonstruowane, że jeżeli zmiana masy i zmiana pędu wywołane są przez zmianę układu odniesienia to sumaryczny wpływ tych zmian na pole jest zerowy.