Moc wiszącego helikoptera

Pytanie

Pyta Mateusz

Jaką moc minimalną potrzebuje helikopter aby zawisnąć w powietrzu? Pomijając opory powietrza, do obliczeń powinien wystarczyć ciężar, w tym przypadku 10N. Jednak jak obliczyć potrzebną moc?

Odpowiedź

Odpowiada prof. Piotr Sułkowski

Jest to pytanie, na które odpowiedź można sformułować stosunkowo łatwo dzięki analizie wymiarowej. Wypiszmy najpierw parametry, od których zależeć może moc $P$ helikoptera wiszącego w powietrzu. Na pewno zależeć może ona od przyspieszenia grawitacyjnego $g$ oraz gęstości powietrza $\rho_p$, a także od rozmiaru i kształtu helikoptera oraz rozkładu jego masy. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kształt helikoptera charakteryzowany jest przez jeden parametr $d$ określający jego rozmiar, natomiast masa helikoptera rozłożona jest ze średnią gęstością $\rho_h$. Biorąc pod uwagę te cztery parametry, musi być możliwe zapisanie szukanej mocy jako

$$
P\sim g^a d^b \rho_h ^c \rho_p^d,
$$

gdzie $a,b,d$ oraz $d$ to odpowiednie potęgi. Przyrównując wymiary z obu stron dostajemy:

$$
\frac{kg\, m^2}{s^3} = \Big(\frac{m}{s^2}\Big)^a m^b \Big(\frac{kg}{m^3}\Big)^c \Big(\frac{kg}{m^3}\Big)^d,
$$

a zatem zgodność wymiarów wymaga spełnienia takich warunków:

$$
c+d=1,\qquad a+b-3(c+d)=2,\qquad -2a=-3,
$$

których rozwiązanie przyjmuje postać $a=\frac{3}{2}$, $b=\frac{7}{2}$, $c=1-d$. Ponieważ do dyspozycji mamy tylko trzy równania (a cztery niewiadome), w dalszym ciągu pozostaje nam jeden wolny parametr (tzn. $c$ oraz $d$ jak na razie nie są jednoznacznie wyznaczone). Możemy jednakże założyć, że moc zawieszonego helikoptera powinna zależeć po prostu od jego ciężaru, tzn. tylko poprzez ciężar powinna przejawiać się zależność od $g$. Skoro ciężar to iloczyn $g$ oraz masy, czyli objętości i gęstości $\rho_h$, to $g$ oraz $\rho_h$ powinny pojawiać się z takim samym wykładnikiem. Zatem możemy przyjąć $c=a=\frac{3}{2}$, skąd też wynika $d=1-c=-\frac{1}{2}$. Ostatecznie otrzymujemy $P \sim (g\rho_h)^{3/2} d^{7/2} \rho_p^{-1/2}$, co można zapisać jako

$$
P\sim (\rho_h d^3g)\cdot\sqrt{d}\cdot\sqrt{g} \cdot\sqrt{\frac{\rho_h}{\rho_p}}.
$$

Pierwszy wyraz w powyższym wyrażeniu $(\rho_h d^3 g)$ to ciężar, drugi to pierwiastek z liniowego rozmiaru helikoptera, natomiast ostatni to iloraz gęstości helikoptera i powietrza. Widzimy więc, że sam ciężar nie wystarcza do oszacowania mocy — zależy ona ponadto od pierwiastka z rozmiaru, a także stosunku gęstości helikoptera do gęstości powietrza. Szczególnie interesujące jest zależność mocy $P$ od $\sqrt{d}$ — wynika z niej, że im mniejszy jest dany obiekt, tym mniejsza moc jest potrzebna do tego, by mógł on zawisnąć w powietrzu. Właśnie z tego powodu małe zwierzęta (owady, kolibry) są w stanie w powietrzu „zawisnąć”, czego z kolei nie są w stanie dokonać większe ptaki.