Odpowiedzi na te pytania zostaną udzielone poprzez odwołanie się do modelu wszechświata, który jest na tyle prosty, że jego ewolucję można wiernie przedstawić na płaszczyźnie. W tym modelu przestrzeń jest jednowymiarowa i ma postać okręgu (mówiąc bardziej fachowo: ma topologię okręgu). Ewolucja tej przestrzeni polega na równomiernym przyroście jej długości, który zachodzi w ten sposób, że w chwili $t>0$ całkowita długość przestrzeni-okręgu wynosi $2\pi t$ (czas $t$ mierzymy tu w metrach: $1$ metr czasu to czas, w jakim światło w próżni przebywa odległość $1$ metra; dzięki takiemu wyborowi jednostek wielkość $2\pi t$ ma poprawny wymiar długości). Tak zdefiniowany model jest jednorodny i izotropowy — jednorodność oznacza, że w każdej chwili żaden punkt przestrzeni nie jest wyróżniony w stosunku do jej pozostałych punktów, a izotropowość oznacza, że w każdej chwili w każdym punkcie przestrzeni nie jest wyróżniony żaden kierunek (w naszym modelu w każdym punkcie mamy dwa przeciwne do siebie kierunki ponieważ przestrzeń jest tu jednowymiarowa).

Rysunek 1

Przestrzeń naszego modelu w chwili $t$ możemy przedstawić w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie jako okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu $t$ — na rysunku 1 widzimy tą przestrzeń w chwilach $t=4,8,12$. Czasoprzestrzeń naszego modelu to kolekcja przestrzeni we wszystkich chwilach $t>0$. Możemy ją więc zobrazować jako zbiór wszystkich okręgów o środku w punkcie $(0,0)$ i niezerowym promieniu. Oznacza to, że czasoprzestrzeń może być tu utożsamiona z płaszczyzną bez punktu $(0,0)$ (jako, że ten punkt nie należy do żadnego z rozważanych okręgów). Współrzędna czasowa $t$ danego zdarzenia rozumianego jako punkt $(x,y)\neq (0,0)$ na tej płaszczyźnie to standardowa odległość tego punktu od punktu $(0,0)$:
\[
t(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.
\]
Zatem współrzędna czasowa $t$ rośnie w kierunkach radialnych rozchodzących się z punktu $(0,0)$, co pokazane jest na rysunku 2.

Rysunek 2

Odnosząc się do pierwszej części pytania trzeba zaznaczyć, że mówiąc o odległości obserwowanej galaktyki (czy innego obiektu) mamy zazwyczaj na myśli jej odległość od nas w chwili obecnej czyli w chwili obserwacji, a nie w chwili emisji światła, które w tym momencie dociera do nas z tej galaktyki. Zobaczymy poniżej jak ta obecna odległość zależy od chwili emisji.

W jednorodnych i izotropowych modelach wszechświata stanowiących podstawę współczesnej kosmologii linia świata danego obiektu jest krzywą w czasoprzestrzeni, która pokazuje, jak zmienia się położenie obiektu w czasie $t$. W tych modelach linie świata galaktyk są krzywymi, które w każdej chwili $t$ są ortogonalne do przestrzeni. W naszym modelu będą to półproste wychodzące z punktu $(0,0)$ — na rysunku 3 przykładowa linia świata galaktyki jest oznaczona symbolem $g$. Skoro obserwacje odległych galaktyk polegają na detekcji wysyłanego przez nie światła, to aby opisać zależność pomiędzy czasem emisji światła przez galaktykę a jej obecną odległością od obserwatora powinniśmy umieć opisać linie świata fotonów. Ponieważ w naszym modelu przestrzeń to okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ więc możemy się spodziewać, że linia świata fotonu będzie obiegać ten środek. Ale ponieważ przestrzeń rozszerza się, więc ta linia powinna być pewnego rodzaju spiralą. Z obliczeń wynika, że linia świata fotonu jest w tym modelu odcinkiem spirali logarytmicznej — parametryczna postać takiej linii świata to
\[
[a,b]\ni\varphi\mapsto
\begin{pmatrix}
x(\varphi)\\
y(\varphi)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\exp(\alpha\varphi+\varphi_0)\cos\varphi\\
\exp(\alpha\varphi+\varphi_0)\sin\varphi
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2,
\]
gdzie $\alpha=\pm 1$, a $\varphi_0$ jest dowolną stałą. Przykładowa linia świata fotonu jest oznaczona na rysunku 3 symbolem $f$.

Rysunek 3

Rozważmy teraz galaktykę $g$, której linia świata przedstawiona jest na rysunku 4 jako pionowa półprosta oznaczona tym samym symbolem. Przypuśćmy, że w chwili $t=12$ do obserwatora $\cal O$ znajdującego się w tej galaktyce docierają z przeciwnych stron fotony wyemitowane przez dwie inne galaktyki $g_1$ i $g_2$. Detekcja tych fotonów przez obserwatora $\cal O$ jest zdarzeniem, które oznaczymy symbolem $Z$. Załóżmy dodatkowo, że galaktyka $g_1$ wyemitowała swoje fotony w chwili $t=8$ (zdarzenie $Z_1$), a galaktyka $g_2$ w chwili $t=4$ (zdarzenie $Z_2$). Aby znaleźć położenie galaktyki $g_1$ w momencie emisji światła musimy narysować linię świata fotonu kończącą się w punkcie $Z$ czasoprzestrzeni i zaczynającą się na okręgu $t=8$ (na rysunku 4 ta linia świata oznaczona jest symbolem $f_1$) — początek tej linii wyznacza zdarzenie $Z_1$. Linia świata galaktyki przechodząca przez to zdarzenie to linia świata galaktyki $g_1$. Podobnie postępując znajdujemy linię świata $f_2$ fotonów wysłanych przez galaktykę $g_2$, co pozwala nam określić położenie zdarzenia $Z_2$ oraz linię świata galaktyki $g_2$.

Rysunek 4

Chwila obserwacji galaktyk $g_1$ i $g_2$ przez obserwatora $\cal O$ to $t=12$. Przecięcie się linii świata galaktyki $g_1$ z okręgiem $t=12$ określa położenie galaktyki $g_1$ w tej chwili, a długość łuku tego okręgu pomiędzy tym położeniem a punktem $Z$ to odległość $L_1$ pomiędzy galaktyką $g_1$ a obserwatorem $\cal O$ w chwili obserwacji. Analogicznie wyznaczamy odległość $L_2$ pomiędzy obserwatorem a galaktyką $g_2$ w tej samej chwili.

Z rysunku 4 widać, że w chwili $t=12$ czyli w chwili obserwacji odległość $L_2$ pomiędzy obserwatorem $\cal O$ i galaktyką $g_2$, która wcześniej wyemitowała swoje fotony jest większa od odległości $L_1$ pomiędzy tym obserwatorem a galaktyką $g_1$, która swoje fotony wyemitowała później.

Dla ścisłości trzeba tu dodać, że w naszym modelu powyżej otrzymana zależność jest słuszna w przypadku tych fotonów, których linie świata pomiędzy emisją a detekcją wykonują nie więcej niż pół pełnego obiegu wokół punktu $(0,0)$. Dla linii świata nie spełniających tego warunku omawiana zależność może zostać zaburzona z powodu nietrywialnej topologii przestrzeni — ponieważ przestrzeń ta jest okręgiem, to np. fotony wysłane przez galaktykę $g$ w jednym kierunku mogą dotrzeć do niej z przeciwnej strony po dokonaniu pełnego obiegu przestrzeni-okręgu (wtedy obserwator $\cal O$ zobaczy przeszły obraz swojej własnej galaktyki). W tym przypadku w chwili obserwacji odległość między galaktyką wysyłającą fotony a galaktyką, w której dokonuje się obserwacji wynosi $0$. Widać stąd, że nietrywialna topologia przestrzeni może skomplikować prostą relację pomiędzy czasem emisji światła a obecną odległością źródła od obserwatora.

Odnośnie „miejsca, w którym znajdowała się osobliwość początkowa”: patrząc na rysunek 2 zmniejszajmy wartość współrzędnej czasowej $t$ aż do osiągnięcia wartości $0$. Co wtedy dzieje się z przestrzenią czyli z okręgiem? Równomiernie kurczy się do punktu $(0,0)$, który pełni tu rolę osobliwości początkowej. Odwracając kierunek zmian współrzędnej $t$ od $0$ do wartości dodatnich widzimy, że cała przestrzeń „wyłania” się z osobliwości początkowej. Zatem w tym sensie każdy punkt przestrzeni „pochodzi” z tej osobliwości i „miejscem, w którym znajdowała się osobliwość początkowa” jest cała przestrzeń.