Pytanie dotyczy popularnego paradoksu tyczki: przyspieszając ciało o długości 1 do prędkości relatywistycznej "skracamy" jego długość do 0,4 i mieścimy w "stodole". W układzie laboratorium zamykamy "drzwi" przed nim i za nim. Zatem to ciało nie może wylecieć ze środka. Rozważmy jednak "tyczkę" jako ciało którego końce odpychają się. Skoro całe ciało zmieści się w "stodole" to odległość między końcami "tyczki" będzie nie większa niż 0,4. Może się jednak tak zdarzyć, że energia potencjalna oddziaływania między nimi w odległości 0,4 będzie większa niż energia kinetyczna (+potencjalna w odległości 1) przed wleceniem w "stodołę", zatem energia całkowita układu się zwiększy, mimo, że nie wykonujemy żadnej pracy.
Jak wyjaśnić to zjawisko?
("tyczką" może być np. układ 2 elektronów – wtedy dla prędkości ~0,8c i odległości rzędu 10^9 brakuje energii większej niż masa elektronów)
Paradoks (naładowanej) tyczki
Pytanie
Odpowiedź
Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że końce tyczki naładowane są jednakowymi ładunkami elektrycznymi. W chwili początkowej tyczka spoczywa w układzie laboratoryjnym. W tym momencie energia całkowita $E_0$ układu złożonego z tyczki i pola elektromagnetycznego (EM) wytworzonego przez ładunki na jej końcach jest sumą:
- energii spoczynkowej tyczki równej $mc^2$ ($m$ jest masą spoczynkowej naładowanej tyczki) i
- energii $E_{em}$ pola:
\[
E_0=mc^2+E_{em}.
\]
Rozpędzając tyczkę do prędkości $v$ wykonujemy pewną pracę $W$, która zostaje zużyta na
- nadanie tyczce odpowiedniej energii kinetycznej oraz
- zmianę konfiguracji pola EM wywołaną ruchem ładunków.
W konsekwencji po rozpędzeniu tyczki energia całkowita $E_1$ układu złożonego z tyczki i pola EM jest równa
\[
E_1=E_0+W.
\]
Zgodnie z zadanym pytaniem po rozpędzeniu tyczki do prędkości $v$ mamy umieścić ją w „stodole”. Umieszczenie tyczki w „stodole” może w zasadzie oznaczać dwie różne sytuacje:
- tyczkę poruszającą się z prędkością $v$ zamykamy na ułamek sekundy w „stodole” tak, że nie dochodzi do kontaktu tyczki z „drzwiami” „stodoły” i w konsekwencji nie dochodzi do oddziaływania tyczki ze „stodołą” – po owym ułamku sekundy otwieramy „drzwi” i tyczka bez zmiany prędkości opuszcza „stodołę”,
- tyczkę zamykamy w „stodole” na dłuższy czas co oznacza, że jej prędkość (względem „stodoły” i zarazem względem układu laboratoryjnego) musi zmaleć do zera.
W pierwszym przypadku nad układem tyczka-pole EM nie zostaje wykonana żadna praca i energia układu wynosi niezmiennie $E_1$. W drugim przypadku wyhamowanie tyczki do zerowej prędkości i jej zdeformowanie (nieodkształcona tyczka w stanie spoczynku nie mieści się w „stodole”) wymaga wykonania pewnej pracy $W’$, co spowoduje zmianę energii układu o wartość równą wykonanej pracy.
Jak więc widać, w rozważanym przypadku każda zmiana energii całkowitej układu złożonego z tyczki i pola EM jest związana z wykonaniem odpowiedniej pracy nad tym układem.
Na zakończenie drobne wyjaśnienie dotyczące sposobu definiowania energii całkowitej w rozważanym przypadku: otóż poprawna definicja energii całkowitej musi zawierać energię pola EM wytworzonego przez ładunki a nie tylko znaną z elektrostatyki energię potencjalną oddziaływania dwóch ładunków. Jest tak dlatego, że podczas rozpędzania tyczki ładunki znajdujące się na jej końcach doznają przyspieszenia i w konsekwencji generują falę elektromagnetyczną. Fala ta unosi ze sobą pewną energię (pochodzącą z pracy $W$ wykonanej dla rozpędzenia tyczki), która nie zostałaby uwzględniona w bilansie energii, gdybyśmy definiując energię całkowitą ograniczyli się wyłącznie do energii potencjalnej oddziaływania pary ładunków.