Strona głównaPytania → Paradoks trojaczków

Paradoks trojaczków

Pytanie

Pyta Jan L

Wszyscy niemal znamy „paradoks bliźniąt”, który nie jest paradoksem. A co z paradoksem trojaczków? Czy jeśli jeden z trojaczków będzie szybko okrążał Ziemię na wschód, drugi na zachód, a trzeci zostanie w domu, to czy ten na wschód będzie młodszy, a ten na zachód starszy od tego, który został w domu?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Okołów

Rozważmy na początek zegar, który względem pewnego układu inercjalnego $\cal U$ porusza się po okręgu o promieniu $R$ ze stałą prędkością kątową $\omega$. Oznaczmy przez $Z_1$ ($Z_2$) zdarzenie polegające na tym, że ów zegar wskazuje czas $\tau_1$ ($\tau_2$). Wtedy zgodnie z prawami szczególnej teorii względności różnica $\tau_2-\tau_1\equiv\Delta \tau$ spełnia następującą zależność:
\begin{equation}
\Delta \tau =\sqrt{1-\frac{R^2\omega^2}{c^2}}\Delta t,
\label{tau-t}
\end{equation}
gdzie $c$ jest prędkością światła w próżni, a $\Delta t$ czasem, jaki w układzie $\cal U$ upływa pomiędzy zdarzeniami $Z_1$ i $Z_2$.

Przejdźmy teraz do przypadku braci-trojaczków. Przyjmijmy, że w pewnym momencie bracia $A$ i $B$ wyruszają z domu rozpoczynając podróż: brat $A$ w kierunku zachodnim, brat $B$ w kierunku wschodnim, natomiast brat $C$ pozostaje w domu. Bracia $A$ i $B$ będą cały czas poruszać się po równoleżniku przechodzącym przez ich dom — załóżmy dodatkowo, że wartości prędkości braci $A$ i $B$ względem Ziemi są stałe. Ruch wszystkich trzech braci wygodnie będzie nam opisać w układzie odniesienia $\cal U$, którego środek cały czas pokrywa się ze środkiem Ziemi, a osie utrzymują niezmienne położenie względem gwiazd — z dobrym przybliżeniem ten układ jest układem inercjalnym.

Oznaczmy prędkości kątowe braci w układzie $\cal U$ symbolami, odpowiednio, $\omega_A$, $\omega_B$ i $\omega_C$ — ta ostatnia wartość to $2\pi$ na dobę. Żeby móc w naturalny sposób (tzn. bez żadnych dodatkowych konstrukcji) porównać wiek braci wszyscy oni muszą w pewnym momencie spotkać się w jednym miejscu co oznacza, że prędkości kątowe braci nie mogą być zupełnie dowolne, lecz muszą być odpowiednio dobrane. Wtedy na mocy wzoru \eqref{tau-t}
\begin{equation}
\frac{\Delta \tau_A}{\sqrt{1-R^2\omega^2_A/c^2}}=\frac{\Delta \tau_B}{\sqrt{1-R^2\omega^2_B/c^2}}=\frac{\Delta \tau_C}{\sqrt{1-R^2\omega^2_C/c^2}},
\label{wiek}
\end{equation}
gdzie $R$ jest promieniem równoleżnika, po którym poruszają się bracia $A$ i $B$, zaś wielkości $\Delta \tau_A, \Delta \tau_B, \Delta \tau_C$ oznaczają czas o jaki każdy z braci postarzał się pomiędzy chwilą rozstania się a chwilą ponownego spotkania się.

Ze wzoru \eqref{wiek} wynika, że bracia będą starzeć się w różnym tempie, przy czym najwolniej będzie się starzał ten z trojaczków, dla którego wartość bezwzględna jego prędkości kątowej względem układu $\cal U$ będzie największa.