Strona głównaPytania → Pojemność kondensatora wypełnionego nieliniowym dielektrykiem

Pojemność kondensatora wypełnionego nieliniowym dielektrykiem

Pytanie

Pyta Karol

Czy istnieje taki materiał, który włożony między płytki kondensatora powodowałby, że wraz ze zmniejszającym się ładunkiem w kondensatorze zmniejszałaby się jego pojemność?

Odpowiedź

Odpowiada Damian Zdulski

Powyższe pytanie jest równoważne temu, czy pojemność kondensatora jest rosnącą funkcją ładunku. Jako że pojemność jest praktycznie dla każdego materiału wielkością dodatnią, to z kolei ładunek jest rosnącą funkcją napięcia na kondensatorze. Stąd ostatecznie odpowiedź na tak postawione pytanie będzie twierdząca, gdy pojemność będzie rosnącą funkcją napięcia na kondensatorze. Okazuje się, że prawie  dla każdego materiału o nieliniowej polaryzacji elektrycznej istnieją przedziały napięć dla których pojemność rośnie wraz z napięciem i tym samym odpowiedź na Pańskie pytanie jest twierdząca.

Aby wykazać to formalnie rozpatrzmy dla ustalenia uwagi płaski kondensator między którego płytki wkładamy dielektryk o nieliniowej polaryzacji. Z prawa Gaussa indukcja elektryczna $D$ w takim przypadku wynosi $D=\sigma$, gdzie $\sigma$ to gęstość ładunku swobodnego na okładce kondensatora. Z drugiej strony z definicji indukcji mamy $D=\epsilon_0 E+P(E)$, gdzie $E$ to natężenie pola elektrycznego, $P(E)$ to polaryzacja elektryczna zależna od pola elektrycznego, natomiast $\epsilon_0$ to przenikalność elektryczna próżni. Dla kondensatora płaskiego pole elektryczne wiąże się z napięciem $U$ za pomocą wzoru $E=\frac{U}{d}$, gdzie d to odległość między płytkami kondensatora. Stąd ładunek $Q$ zgromadzony na okładce kondensatora wyraża się wzorem $Q=\sigma S= \frac{\epsilon_0 S}{d}U+SP(\frac{U}{d})$, gdzie $S$ to powierzchnia płytki kondensatora. Definicja pojemności $C$ ma postać $C=\frac{dQ}{dU}$. Zatem różniczkując po $U$  nasz wzór  na ładunek otrzymujemy $C=\frac{\epsilon_0 S}{d}+\frac{S}{d}\frac{dP}{dE}$. Po policzeniu kolejnej pochodnej dostajemy $\frac{dC}{dU}=\frac{S}{d^2}\frac{d^2P}{dE^2}$. Pojemność jest rosnącą funkcją napięcia gdy $\frac{dC}{dU}>0$ co widać z naszego wzoru, że zachodzi gdy $\frac{d^2P}{dE^2}>0$. Druga pochodna P(E) jest dodatnia gdy ta funkcja w danym punkcie jest wklęsła (tzn. wykres zakrzywia się do góry). Ze schematycznych wykresów P(E) dla ferroelektryka, paraelektryka lub antyferroelektryka widać, że dla każdego z tych podstawowych typów nieliniowych dielektryków występują obszary wklęsłości, co dowodzi naszą tezę.

Zatem podsumowując, jeśli między okładki kondensatora włożymy praktycznie dowolny nieliniowy dielektryk należący do powyżej wymienionych typów to będą obszary napięć, gdzie pojemność będzie malała wraz z zmniejszaniem ładunku i tym samym napięcia na kondensatorze.