Strona głównaPytania → Prosta czy krzywa przestrzeń?

Prosta czy krzywa przestrzeń?

Pytanie

Pyta Ola

Choć okazało się, że nasza przestrzeń jest "płaska" to przecież rozpatrywano różne krzywizny. Jak można mówić o "kulistej" lub "hiperbolicznej" czterowymiarowej przestrzeni? Czy nie jest tak, że jeśli coś jest wygięte, to wygięte jest w kolejnym wymiarze? I czy w ogóle ilość wymiarów jest w jakiś sposób określona?

Odpowiedź

Odpowiada Jan Gaj

Intuicja podsuwa nam obraz przestrzeni „płaskich”, a jeśli nie, to przynajmniej „wygiętych w kolejnym wymiarze”, bo wtedy tę przestrzeń o wymiarze o jeden większym możemy jednak uważać za płaską. Samo pojęcie wymiaru przestrzeni nie jest oczywiste i matematycy potrafią je definiować na różne sposoby, ale to problem na inną okazję. Na pytanie, czy przestrzeń jest „płaska”, czy nie, można jednak szukać odpowiedzi nie wychodząc poza tę przestrzeń w nowy wymiar. Na przykład płaskie istoty żyjące na powierzchni kuli (sferze) mogłyby mierzyć kąty między „prostymi”, czyli liniami łączącymi punkty po najkrótszej drodze. Takie linie na sferze to koła wielkie. Na Ziemi są nimi na przykład południki i równik, ale już nie równoleżniki o różnej od zera szerokości geograficznej. Nasze istoty odkryłyby, że suma kątów w trójkącie nie wynosi wcale 180 stopni, na przykład trójkąt utworzony przez łuki dwóch południków i równika może mieć wszystkie trzy kąty proste! Zauważyłyby też, że suma kątów trójkąta zależy od jego wielkości i dla bardzo małych trójkątów zbliża się do 180 stopni. Gdyby jednak żyły na powierzchni siodłowej (w górach – na przełęczy) czyli hiperbolicznej, wyniki takich pomiarów byłyby inne – sumy kątów w trójkącie mniejsze od 180 stopni. O typie geometrii swojej dwuwymiarowej przestrzeni mogłyby więc wnioskować nie wychodząc poza nią. Podobnie i my możemy badać właściwości naszej przestrzeni nie wychodząc poza nią.

Całkowity wymiar przestrzeni jest taki, jakiego potrzebujemy do opisu rzeczywistości w konkretnym modelu matematycznym. Na przykład w fizyce gazu rozważa się 6N – wymiarową przestrzeń fazową, w której każdej spośród N punktowych cząsteczek przypisujemy trzy współrzędne położenia i trzy współrzędne prędkości. A jeśli chcemy uwzględniać ruch obrotowy – wymiar będzie jeszcze większy. Tak więc nie ma żadnego sztywnego ograniczenia na wymiar przestrzeni rozpatrywanych w fizyce.