Strona głównaPytania → Relatywistyczne składanie prędkości

Relatywistyczne składanie prędkości

Pytanie

Pyta Krzysiek

Prędkość światła podobno jest prędkością której przekroczyć nie można. Jednak czy jakbyśmy rozpędzili pociąg do prędkości światła i poruszali się w tym pociągu do przodu, to czy teoretycznie można byłoby przekroczyć w ten sposób prędkość światła?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Jest to bardzo dobre pytanie — właśnie zadawanie takich pytań doprowadziło Einsteina do sformułowania teorii względności. Teoria względności oparta jest na postulacie nieprzekraczalności prędkości światła. Natomiast zgodnie ze „zwykłym” (tzn. „nierelatywistycznym”) prawem składania prędkości, w zaproponowany w treści pytania sposób można by przekroczyć prędkość światła. Wynika stąd, że postulat o nieprzekraczalności prędkości światła jest sprzeczny ze „zwykłym” prawem składania prędkości — jeśli więc chcemy sformułować logicznie spójną teorię, to nie może ona uwzględniać tych dwóch praw jednocześnie, i jedno z nich należy odrzucić (czy też odpowiednio zmodyfikować). Z wielu argumentów wynika, że nieprzekraczalność prędkości światła jest fundamentalnym prawem, które zawsze powinno być spełnione — a zatem w poprawnie sformułowanej teorii (którą jest właśnie szczególna teoria względności) prawo składania prędkości musi być zmodyfikowane. I rzeczywiście, poprawne (tzw. „relatywistyczne”) prawo składani prędkości przyjmuje następującą postać:

$$ v = \frac{u+v’}{1+\frac{uv’}{c^2}}, \qquad (*)$$

gdzie $c$ jest prędkością światła, $u$ oznacza prędkość pomiędzy dwoma układami odniesienia w których mierzymy prędkości danego obiektu, natomiast $v$ oraz $v’$ są prędkościami tego obiektu mierzonymi w tych dwóch układach.

Nawiązując do zadanego pytania, dwoma układami odniesienia które należy rozważyć jest układ związany np. z peronem, oraz układ związany z poruszającym się pociągiem. Pociąg względem peronu porusza się z prędkością $u$. Ponadto prędkość pasażera względem pociągu oznaczmy jako $v’$, natomiast prędkość pasażera względem peronu jako $v$.

Jeśli znać będziemy $u$ oraz $v’$ (prędkość pociągu względem peronu oraz prędkość pasażera przemieszczającego się w tym pociągu), to z powyższego wzoru wynika, że prędkość pasażera względem peronu $v$ nigdy nie może przekroczyć prędkości światła $c$.

Na przykład, przyjmując $u=0.9c$ oraz $v’=0.9c$, z powyższego wzoru wynika, że $v\simeq 0.99c$ (a nie $1.8c$, jak by wynikało z nierelatywistycznego składania prędkości).

Jako inny przykład (bezpośrednio nawiązujący do treści pytania) przyjmijmy, że pociąg porusza się z prędkością światła, czyli $u=c$ (choć należy podkreślić, że praktycznie nie jest to możliwe, gdyż tylko obiekty bezmasowe mogą poruszać się z prędkością światła; tym niemniej, przynajmniej teoretycznie, każdy obiekt posiadający masę może być rozpędzony do prędkości dowolnie bliskiej prędkości światła). Ze wzoru $(*)$ wynika, że

$$ v = \frac{c+v’}{1+\frac{v’}{c}} = c\frac{c+v’}{c+v’} = c,$$

a zatem względem peronu pasażer porusza się także z prędkością światła $v=c$, bez względu na to ile wynosi jego prędkość względem pociągu $v’$!

Załóżmy z kolei, że rozważane prędkości są dużo mniejsze od prędkości światła. W takim przypadku we wzorze $(*)$ czynnik $\frac{uv’}{c^2}$ w mianowniku jest dużo mniejszy niż 1, a zatem cały mianownik można przybliżyć przez 1

$$v = \frac{u+v’}{1+\frac{uv’}{c^2}} \simeq \frac{u+v’}{1} = u+v’,$$

czyli dostajemy w ten sposób „zwykły” (nierelatywistyczny) wzór na składanie prędkości, $v=u+v’$. Widzimy więc, że dobrze znany „zwykły” wzór na dodawanie prędkości jest ważny — ale tylko wtedy, gdy rozważane prędkości są dużo mniejsze od prędkości światła (co jest zupełnie wystarczające w „codziennym” życiu); natomiast gdy rozważane prędkości są porównywalne z prędkością światła wzór ten staje się coraz mniej dokładny, i by otrzymać poprawny wynik należy stosować wzór relatywistyczny $(*)$.