Strona głównaPytania → Relatywistyczni motocykliści

Relatywistyczni motocykliści

Pytanie

Pyta Andrzej

Wyobraźmy sobie sytuację. Po torze, z prędkością 90 km/h jedzie motocyklista. Drugi wyprzedza go. Jego prędkość wynosi 100 km/h. Ten pierwszy więc widzi, że drugi wyprzedza go z prędkością o 10 km/h większą.

Weźmy pod uwagę drugą sytuację. Pierwszy motocyklista jedzie z prędkością 99%c. Drugi z prędkością 100%c (wiem, że w praktyce to niemożliwe). Wtedy wyprzedzany nie zobaczy zjawiska w ten sposób jak za pierwszym razem, czyli z jego punktu widzenia nie wyprzedzi go z prędkością o 1% większą, lecz zobaczy tylko jak tamten śmiga obok z prędkością 100%c. Co dziwniejsze, niezależny obserwator stojący obok toru i patrzący na to zjawisko zobaczy, że drugi motocyklista wyprzedza pierwszego z prędkością o 1% większą. Dlaczego tak się dzieje?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Szymacha

Wyjaśnia to szczególna teoria względności, w której (w odróżnieniu od klasycznej teorii Galileusza) różnica prędkości dwóch obiektów w jakimś układzie odniesienia nie jest ich prędkością względną. Gdy z lewa zbliża się obiekt z prędkością c/2 w moim układzie odniesienia i z prawej zbliża się obiekt podobny, to gdy w pewnym momencie jeden jest jeszcze 300 000km w lewo a drugi tyle samo w prawo ode mnie, a więc w odległości 600 000km, to po sekundzie każdy jest już tylko odległy o 150 tysięcy ODE MNIE, w sumie 300000. Dla mnie ich odległość zmalała o 300 000 km w ciągu sekundy. To jest ich prędkość zbliżania, gdy porównywana jest na MOICH zegarach i za pomocą MOICH sztab. Nie jest to jednak prędkość względna dla żadnego z nich. Tę musi się określić przez porównanie położeń jednego z obiektów (obojętnie którego) względem co najmniej dwóch zegarów NIERUCHOMYCH względem tego drugiego i nieruchomych względem drugiego sztab. O szczególnej teorii względności można dowiedzieć się więcej m. in. z podręcznika fizyki i astronomii dla liceum (program rozszerzony), WSiP 2004, cz. III.

Istotą teorii względności jest odkrycie, że zegar w ruchu, porównywany z kolejnymi zegarami spoczywającymi względem siebie pokazuje MNIEJ niż różnica odczytów na tych dwóch zegarach. Na wykresie xt układu inercjalnego w którym owe dwa zegary spoczywają, wskazanie owego zegara pochylonego do osi czasu, będące „długością” przeciwprostokątnej jest mniejsze od przyprostokątnej t2-t1 i wynosi Sqrt[(t2-t1)^2-(x2-x1)^2/c^2]. To, m.in. powoduje, że przy składaniu prędkości, drogi Vt przebytej przez oddalający się ode mnie obiekt nie mogę uzupełnić o v’t RZEKOMO będące drogą przebytą przez trzecie ciało mające prędkość v’, ALE względem zegarów względem mnie ruchomych. Bo tak się rozumuje w szkolnej fizyce uzyskując drogę Vt+v’t=(V+v’)t a stąd prędkość V+v’. Dobry wzór to (V+v’)/(1+V*v’/c^2). W przykładzie na początku, dla V=c/2 i v’=c/2 da to prędkość względną (c/2+c/2)/(1+1/4)=0,8c. Analogicznie przy odejmowaniu. Gdy v’=c a V=0,99c to prędkość względna wynosi:(c-0,99c)/(1-c*0,99c/c^2)=0,01c/0,01=1c.

Warto jeszcze zauważyć, że prędkość jest bardzo podobna do współczynnika kierunkowego prostej na płaszczyźnie. Np. prosta opisana równaniem x=K*y tworzy z osią y kąt, którego tangens wynosi K. Jeśli względem układu obróconego, którego powyższa prosta jest osią y-ków narysujemy nową prostą o równaniu x’=k’*y’, to równanie tej prostej względem osi „starych” jest x=k*y, gdzie k=(K+k’)/(1-K*k’). Współczynnik K mówi o ile wzrośnie współrzędna x, gdy współrzędna y punktu leżącego na nowej osi y’wzrośnie o 1. Współczynnik k’ – pozornie podobny – mówi jednak o ile wzrośnie współrzędna x’ (z primem!) punktu na badanej prostej, gdy o 1 wzrośnie (też niby „pionowa”) współrzędna y’ tegoż punktu. Tych przyrostów nie można dodać, co łatwo widać na odpowiednim rysunku.