Processing math: 4%

Równania ruchu a prawa zachowania

Pytanie

Pyta Nikodem

Czy można obliczyć prędkość swobodnie spadającego ciała jeśli znamy jego początkową wysokość i prędkość na tej wysokości, nie stosując wzorów na energię?

Odpowiedź

Odpowiada prof. Piotr Sułkowski

Tak, można taką prędkość obliczyć. Generalnie różne problemy dotyczące mechaniki klasycznej można rozwiązywać na dwa sposoby: albo rozwiązując równania ruchu (czyli równania Newtona), albo też korzystając z różnych praw zachowania (np. prawa zachowania energii, pędu, itd.). W pierwszym przypadku znajdujemy przebieg jakiegoś zjawiska niejako krok po kroku, w każdej kolejnej chwili czasu — tzn. na podstawie pewnych danych (np. położenia i prędkości ciała) w jednej chwili czasu jesteśmy w stanie wyliczyć analogiczne parametry w kolejnej chwili czasu, i w ten sposób wyznaczyć takie parametry w każdej chwili. Natomiast korzystając z praw zachowania porównujemy wielkości które są zachowane w chwili początkowej i końcowej i — wiedząc, że wielkości te muszą być równe — w pewnym sensie nie przejmujemy się tym, co dzieje się w międzyczasie. Oczywiście obie metody prowadzą do tych samych wyników.

Rozważając przykład w treści pytania, przyjmijmy, że ciało znajdujące się początkowo na pewnej wysokości h_1 ma prędkość V_1 (skierowaną w kierunku ziemi), natomiast interesuje nas prędkość tego ciała V_2, którą uzyska ono na wysokości h_2, po przebyciu drogi S=h_1-h_2. Jako że w polu grawitacyjnym ciało takie porusza się ze stałym przyspieszeniem g, możemy zastosować wzory na przebytą drogę w ruchu ze stałym przyspieszeniem

S = V_1 t + \frac{1}{2}g t^2

oraz na prędkość

V_2 = V_1 + g t.

Powyższe wzory są rozwiązaniami równania Newtona dla ciała spadającego w polu grawitacyjnym i występuje w nich czas t, tzn. określają one położenie (przebytą drogę S) oraz prędkość V_2 w dowolnej chwili czasu. Zakładając natomiast, że ciało przebyło drogę S, możemy z drugiego równania wyliczyć czas w którym musiało to nastąpić t=(V_2-V_1)/g, i podstawiając do równania pierwszego i odpowiednio je przekształcając możemy wyznaczyć szukaną prędkość V_2

V_2^2 = V_1^2 + 2gS.

Jeśli natomiast chcielibyśmy rozwiązać ten sam problem korzystając z zasady zachowania energii, to przyjmując, że na wysokości początkowej h_1 całkowita energia (czyli suma energii potencjalnej i kinetycznej) jest taka sama jak w chwili końcowej kiedy ciało znajduje się na wysokości h_2, możemy napisać

mgh_1 + \frac{1}{2}m V_1^2 = mgh_2 + \frac{1}{2} m V_2^2.

Odpowiednio przekształcając to równanie, uwzględniając, że S=h_1-h_2, oraz dzieląc obie strony przez m, otrzymujemy ten sam wynik jak powyżej

V_2^2 = V_1^2 + 2gS.