Strona głównaPytania → Równanie Londonów i głębokość wnikania

Równanie Londonów i głębokość wnikania

Pytanie

Pyta Damian

Prosiłbym, aby ktoś był tak miły i wyjaśnił mi (w prosty sposób) dlaczego laplasjan indukcji pola magnetycznego wynosi zero w stwierdzeniu: „Ponieważ laplasjan B jest równy zero, pole magnetyczne wewnątrz nadprzewodnika, poniżej głębokości wnikania, wynosi zero” na stronie https://pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_Meissnera

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Pytanie dotyczy równania

$$
\nabla^2 \vec{B} = \frac{\vec{B}}{\lambda^2},
$$

którego lewa strona (zawierająca wektorowy lapasjan $\nabla^2 \vec{B}= \textrm{grad} (\textrm{div}\vec{B}) – \textrm{rot}(\textrm{rot}\vec{B})$) nie znika tak po prostu. Można natomiast zastanowić się, czy mogłoby istnieć przestrzennie jednorodne rozwiązanie tego równania, tzn. czy przestrzennie jednorodne pole magnetyczne $\vec{B}$ mogłoby istnieć w nadprzewodniku. Laplasjan takiego pola byłby równy zero (laplasjan może być różny od zera tylko wtedy, gdy jego argument zależy od położenia), a zatem powyższe równanie implikowałoby, że samo $\vec{B}$ musi być równe zero (gdyż jest ono proporcjonalne do swojego laplasjanu). Zatem jedyne możliwe przestrzennie jednorodne pole magnetyczne w nadprzewodniku musi jest polem zerowym, $\vec{B}=0$.

Natomiast (jednowymiarowym) nietrywialnym rozwiązaniem powyższego równania, postaci $\vec{B}=B_x(z)\vec{i}$, jest np.

$$
B_x(z) = B_0 e^{-\frac{z}{\lambda}}
$$

gdzie $B_0$ jest pewną stałą. Rozwiązanie to opisuje eksponencjalnie zanikające pole magnetyczne o głębokości wnikania rzeczywiście zadanej przez $\lambda$.