Aby jedno ciało (np. Ziemia, lub jakiś satelita) mogło poruszać się wokół drugiego (np. Słońca) po zamkniętej (kołowej) orbicie, siła grawitacji musi odgrywać rolę siły dośrodkowej, czyli

$$
G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mV^2}{R},
$$

gdzie $m$ oznacza masę pierwszego ciała, $M$ to masa drugiego ciała, $V$ to prędkość pierwszego ciała, natomiast $R$ to promień orbity po której to pierwsze ciało się porusza. Stała grawitacji wynosi $G\simeq 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{s^2 kg}$, natomiast masa Słońca $M\simeq 2\cdot 10^{30} kg$. Z powyższego równania wynika, że prędkość pierwszego ciała wynosi

$$
V = \sqrt{\frac{GM}{R}}.
$$

Pierwsza prędkość kosmiczna jest zdefiniowana jako prędkość, którą należy nadać pierwszemu ciału wystrzelonemu z powierzchni drugiego obiektu, aby to pierwsze ciało poruszało się po zamkniętej orbicie. Zgodnie z tą definicją, promieniem tej orbity jest po prostu promień drugiego obiektu. Prędkość tę można zatem wyznaczyć z powyższego wzoru i w przypadku pierwszej prędkości kosmicznej dla Słońca we wzorze tym należy uwzględnić promień Słońca, który wynosi $R\simeq 700\, 000\,  km$. Wstawiając takie $R$, oraz powyżej wspomniane $G$ i $M$, otrzymujemy pierwszą prędkość kosmiczną Słońca

$$
V_I \simeq 436,5 \frac{km}{s}.
$$

Aby wyznaczyć prędkość Ziemi w ruchu wokół Słońca można również skorzystać z powyższego wzoru, ale tym razem należy uwzględnić w nim promień orbity Ziemi wokół Słońca, który wynosi $R=150\, 000\, 000\, km$ (a nie promień Słońca jak powyżej). Z tego powodu prędkość Ziemi istotnie różni od pierwszej prędkości kosmicznej Słońca; uwzględniając promień orbity Ziemi w powyższym wzorze otrzymujemy (zgodnie z wartością wspomnianą w pytaniu) prędkość Ziemi w ruchu wokół Słońca

$$
V_{Ziemia}=29,8 \frac{km}{s}.
$$