Strona głównaPytania → Ruch Ziemi a pierwsza prędkość...

Ruch Ziemi a pierwsza prędkość kosmiczna Słońca

Pytanie

Pyta Eliasz

Dlaczego Ziemia jest satelitą Słońca, skoro pierwsza prędkość kosmiczna Słońca wynosi 436,74 km/s, a Ziemia porusza się z prędkością ok. 30 km/s, czyli mniejszą niż potrzebna aby stać się satelitą Słońca?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

Aby jedno ciało (np. Ziemia, lub jakiś satelita) mogło poruszać się wokół drugiego (np. Słońca) po zamkniętej (kołowej) orbicie, siła grawitacji musi odgrywać rolę siły dośrodkowej, czyli

$$
G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mV^2}{R},
$$

gdzie $m$ oznacza masę pierwszego ciała, $M$ to masa drugiego ciała, $V$ to prędkość pierwszego ciała, natomiast $R$ to promień orbity po której to pierwsze ciało się porusza. Stała grawitacji wynosi $G\simeq 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{s^2 kg}$, natomiast masa Słońca $M\simeq 2\cdot 10^{30} kg$. Z powyższego równania wynika, że prędkość pierwszego ciała wynosi

$$
V = \sqrt{\frac{GM}{R}}.
$$

Pierwsza prędkość kosmiczna jest zdefiniowana jako prędkość, którą należy nadać pierwszemu ciału wystrzelonemu z powierzchni drugiego obiektu, aby to pierwsze ciało poruszało się po zamkniętej orbicie. Zgodnie z tą definicją, promieniem tej orbity jest po prostu promień drugiego obiektu. Prędkość tę można zatem wyznaczyć z powyższego wzoru i w przypadku pierwszej prędkości kosmicznej dla Słońca we wzorze tym należy uwzględnić promień Słońca, który wynosi $R\simeq 700\, 000\,  km$. Wstawiając takie $R$, oraz powyżej wspomniane $G$ i $M$, otrzymujemy pierwszą prędkość kosmiczną Słońca

$$
V_I \simeq 436,5 \frac{km}{s}.
$$

Aby wyznaczyć prędkość Ziemi w ruchu wokół Słońca można również skorzystać z powyższego wzoru, ale tym razem należy uwzględnić w nim promień orbity Ziemi wokół Słońca, który wynosi $R=150\, 000\, 000\, km$ (a nie promień Słońca jak powyżej). Z tego powodu prędkość Ziemi istotnie różni od pierwszej prędkości kosmicznej Słońca; uwzględniając promień orbity Ziemi w powyższym wzorze otrzymujemy (zgodnie z wartością wspomnianą w pytaniu) prędkość Ziemi w ruchu wokół Słońca

$$
V_{Ziemia}=29,8 \frac{km}{s}.
$$