Strona głównaPytania → Ruchy Browna i giełda

Ruchy Browna i giełda

Pytanie

Pyta Anonim

Nie rozumiem za bardzo ruchów Browna, a właściwie wzoru. W jaki sposób Smoluchowski wyprowadził ten wzór? I co on oznacza, w ludzkim języku? Dziwi mnie on, dlatego że opiera się na dyskusyjnych założeniach (turbulencja cząsteczek wody o różnych temperaturach, jak się okazało przy stałych temperaturach też, inna była taka, że to uderzenia cząstek wody w drobiny). Interesuje mnie to również pod kontem rynków finansowych, które poprzez proces stochastyczny modelują przyszłe wartości kursów. Jednak na tej podstawie ludzie odradzają podejmować decyzję – dlaczego? Rzeczywiście dopiero symulacja Monte Carlo wykresów przyszłych kursów przypomina rozkłady normalny, poissona czy jakis taki oparty na uporządkowanych wynikach średnich i ich odchyleniach. Zastanawiają mnie te wszystkie związki pomiędzy różnymi rozkładami. I jaki będzie rozkład statystyczny ruchów Browna. Na ile można ufać rzeczywiście wycenom opcji czy opcji rzeczowych opartych na ruchach browna? Jak ma się do tego proces Wienera?

Odpowiedź

Odpowiada Andrzej Majhofer

Ruchami Browna (*) nazywane są nieuporządkowane ruchy cząstek zawiesiny w gazie lub cieczy. Podlegają im cząstki o rozmiarach rzędu 1 mikrometra (1 mikrometr = 10-6m) lub mniejszych (widoczne pod mikroskopem). Intensywność ruchów Browna rośnie wraz ze wzrostem temperatury i maleje ze wzrostem rozmiarów cząstek zawiesiny, jest też większa w ośrodku o mniejszej lepkości. Najbardziej znanym obrazem ,,trajektorii” takich ruchów jest ilustracja zaczerpnięta z pracy Jeana Perrina (fizyk francuski, 1870-1942) reprodukowana w wielu podręcznikach fizyki. Widoczne na ilustracji nieregularne łamane nie są jednak rzeczywistymi torami ruchów cząstki Browna! Perrin rejestrował bowiem co 30 sekund kolejne (obserwowane pod mikroskopem) położenia wybranej cząstki, a otrzymane punkty łączył po prostu odcinkami prostej. Cząstki badanej zawiesiny miały promień 0,53 mikrometra, a ich kolejne zarejestrowane położenia łączą odcinki o długościach od ułamka mikrometra do kilkunastu mikrometrów. Skracanie czasu pomiędzy obserwacjami prowadzi do coraz bardziej skomplikowanych trajektorii.


(*) Nazwa zjawiska pochodzi od nazwiska Roberta Browna (brytyjski botanik, 1773 – 1858), który jako pierwszy je opisał w pracy z roku 1827. Obserwując pod mikroskopem pyłki północnoamerykańskiej odmiany pierwiosnków (clarkia pulchella) dostrzegł on w ich wakuolach cząstki wykonujące chaotyczne ruchy. Ponieważ cząstki były uwięzione wewnątrz komórki, Brown mógł wykluczyć konwekcję płynu ośrodka jako przyczynę ruchu. Pozostawało zbadanie, czy ruch nie jest wynikiem procesów fizjologicznych w komórce. Ciąg starannych doświadczeń przekonał Roberta Browna, że obserwowane ruchy nie mają związku z procesami życiowymi.

W warunkach odpowiadających doświadczeniom Perrina, cząstka zawiesiny o rozmiarach rzędu 1 mikrometra w ciągu sekundy doznaje (co do rzędu wielkości) 1020 przypadkowych zderzeń z cząsteczkami ośrodka, z których każda jest tysiące razy od niej mniejsza (np. rozmiar cząsteczki wody to ok 2 10-10 m). Cząsteczki ośrodka uderzają cząstkę zawiesiny ze wszystkich stron z jednakowym prawdopodobieństwem, jednak na skutek przypadkowych fluktuacji zdarza się „od czasu do czasu”, że więcej cząsteczek uderzy z jednej (lub przypadkowo mają one większe prędkości) niż z innych stron. Cząstka zawiesiny uzyskuje wówczas pewną prędkość. Duże fluktuacje zdarzają się jednak niezwykle rzadko, a uzyskane prędkości są szybko tracone w następnych, bardziej ,,typowych” zderzeniach – wytracenie (relaksacja) prędkości następuje w czasie rzędu 10-8 s. Kolejne duże fluktuacje, a więc i uzyskane w ich wyniku prędkości są od siebie niezależne. Rejestrując położenia cząstki zawiesiny w odstępach czasu znacznie większych od czasu relaksacji prędkości uzyskamy chaotyczną łamaną. Ścisły opis trajektorii ruchu Browna nie jest możliwy, można jednak wykazać, że średni kwadrat przesunięcia cząstki w kierunku równoległym do każdej z osi współrzędnych jest proporcjonalny do czasu t między obserwacjami W roku 1900 Louis Bachelier (matematyk francuski, 1870-1946) opublikował rozprawę doktorską pt. ,,Théorie de la spéculation”. Sformułował w niej teorię błądzeń przypadkowych niemal identyczną z teorią Einsteina i Smoluchowskiego (pięć lat przed nimi!(*)). Praca dotyczyła spekulacji na paryskiej giełdzie. Rolę położenia odgrywała cena akcji, a zderzeniami z cząsteczkami ośrodka są w tym przypadku niezależne oferty kupna-sprzedaży tysięcy graczy. Z wieloletnich obserwacji Bacheliera wynikało, że ceny akcji na dużej, zrównoważonej gieldzie (tj. poza okresami paniki lub euforycznych zakupów) zachowują się podobnie jak położenia cząstki Browna (jeśli dobrze rozumiem, to rolę zewnętrznego pola sił odgrywa stopa oprocentowania lokat długoterminowych). Teoria Bacheliera została udoskonalona (m.in. dla uniknięcia ujemnych cen zmieniono główną zmienną na logarytm ceny) i stanowi dziś jedną z metod wyceny tzw. instrumentów pochodnych (opcji) przez banki – Robert C. Merton i Myron Scholes,współautorzy tej metody zostali nawet uhonorowani Nagrodą Nobla z ekonomii w 1997 roku (trzeci z autorów metody, Fischer Black, zmarł w 1995 roku).

Entuzjaści ,,naukowej” gry na giełdzie powinni jednak pamietać o bardzo istotnej różnicy między teorią Blacka-Scholesa i teorią ruchów Browna. Prace Einsteina i Smoluchowskiego przyniosły im powszechne uznanie, w żaden jednak sposób nie wpłynęły na zachowanie cząstek Browna. Opublikowanie prac Blacka, Scholesa i Myrtona zmieniło natomiast metody działania graczy giełdowych!


(*) Praca Bacheliera nie była znana Einsteinowi ani Smoluchowskiemu. Praca była mało znana i teoretycy ekonomii pracę Bacheliera ,,odkryli dopiero” w latach sześćdziesiątych XXw.