Processing math: 100%

Siła działająca na rozciąganą żyłkę

Pytanie

Pyta Sławek

Cienka i nierozciągliwa żyłka o długości L = 1 [m] jest jednym końcem przyczepiona do haka w suficie, a drugim końcem do odważnika o masie m=1 [kg]. Odważnik podwieszamy pod sufitem tak, że punkty mocowania żyłki (hak i mocowanie na odważniku) są na jednej wysokości. W pewnym momencie puszczamy odważnik, który spada swobodnie. W pewnym momencie żyłka się kończy i napina. Droga jaką pokonuje odważnik równa się długości żyłki, czyli L = 1 [m]. Tym samym kończy się swobodne spadanie. Na żyłkę zaczyna działać siła rozciągająca. Zakładamy, że mocowania żyłki na haku i na odważniku są tak mocne, że nie ulegają zerwaniu przy wyhamowaniu odważnika przez żyłkę. Jak odliczyć wielkość siły F [N], która działa na żyłkę w momencie, kiedy prędkość odważnika będzie v = 0 [m/s]? Nie chodzi o obliczenie energii E [J], ale o siłę w [N]. Energię prosto można wyznaczyć z E_p = E_k [J].

Odpowiedź

Odpowiada prof. Piotr Sułkowski

Rzeczywiście pierwszy krok w takiej analizie to wyznaczenie energii kinetycznej E_k odważnika po przebyciu przez ten odważnik drogi o długości L. Zgodnie z prawem zachowania energii, ta energia kinetyczna równa jest energii potencjalnej odważnika E_p w jego początkowym położeniu na wysokości L, czyli E_k=E_p=mgL. Zatem po przebyciu drogi L odważnik ma energię kinetyczną E_k=mgL. Natomiast po kolejnej (bardzo) krótkiej chwili przestanie się on poruszać, czyli energia kinetyczna stanie się równa zero. Z prawa zachowania energii wynika, że energia ta musi zamienić się na pracę związaną z rozciągnięciem żyłki, a także inne formy energii (np. cieplną, związaną z tarciem żyłki o hak, akustyczną związaną z wydaniem dźwięku przez napinaną żyłkę, itp.). Pomijając te inne formy energii możemy założyć, że żyłka rozciągnęła się o jakiś (mały) odcinek h w momencie hamowania odważnika. Podczas tego rozciągania (o odcinek długości h) na żyłkę będzie działać pewna siła F, a zatem wykonywana będzie pewna praca; pomijając te inne formy energii (np. cieplną, akustyczną), wykonana praca byłaby równa obliczonej powyżej energii kinetycznej, czyli

E_k=\int_0^h F dx,

gdzie x oznacza współrzędną w kierunku pionowym. Zakładając ponadto, że działająca na żyłkę siła F jest stała, otrzymujemy po prostu

E_k=F\cdot h,

skąd wynika, że działająca na żyłkę siła wynosi F=E_k/h. Jak widać, wyznaczenie działającej siły wymaga znajomości rozciągnięcia h. Wymagać by to mogło szczegółowego pomiaru tego rozciągnięcia,  a zatem sam ten wynik może jeszcze nie być satysfakcjonujący. Załóżmy zatem, że żyłka wykonana jest z materiału, który spełnia prawo Hooke’a, zgodnie z którym wydłużenie h powiązane jest z siłą F zależnością

\frac{F}{S} = E\frac{h}{L},

gdzie S jest polem przekroju poprzecznego żyłki, a E tzw. modułem Younga, czyli współczynnikiem charakteryzującym dany materiał. Podstawiając do tego wzoru wyznaczone wyżej h=E_k/F otrzymujemy

F=\sqrt{\frac{ESE_k}{L}}=\sqrt{mgES}.

Zatem aby wyznaczyć siłę działającą na żyłkę należałby znać współczynnik Younga E materiału z którego jest ona wykonana oraz pole jej przekroju poprzecznego S. Należy podkreślić, że siła taka siła działa podczas całego okresu czasu w którym odważnik zwalnia, a żyłka jest rozciągana.