Cienka i nierozciągliwa żyłka o długości $L = 1$ [m] jest jednym końcem przyczepiona do haka w suficie, a drugim końcem do odważnika o masie $m=1$ [kg]. Odważnik podwieszamy pod sufitem tak, że punkty mocowania żyłki (hak i mocowanie na odważniku) są na jednej wysokości. W pewnym momencie puszczamy odważnik, który spada swobodnie. W pewnym momencie żyłka się kończy i napina. Droga jaką pokonuje odważnik równa się długości żyłki, czyli $L = 1$ [m]. Tym samym kończy się swobodne spadanie. Na żyłkę zaczyna działać siła rozciągająca. Zakładamy, że mocowania żyłki na haku i na odważniku są tak mocne, że nie ulegają zerwaniu przy wyhamowaniu odważnika przez żyłkę. Jak odliczyć wielkość siły $F$ [N], która działa na żyłkę w momencie, kiedy prędkość odważnika będzie $v = 0$ [m/s]? Nie chodzi o obliczenie energii $E$ [J], ale o siłę w [N]. Energię prosto można wyznaczyć z $E_p = E_k$ [J].
Siła działająca na rozciąganą żyłkę
Pytanie
Odpowiedź
Rzeczywiście pierwszy krok w takiej analizie to wyznaczenie energii kinetycznej $E_k$ odważnika po przebyciu przez ten odważnik drogi o długości $L$. Zgodnie z prawem zachowania energii, ta energia kinetyczna równa jest energii potencjalnej odważnika $E_p$ w jego początkowym położeniu na wysokości $L$, czyli $E_k=E_p=mgL$. Zatem po przebyciu drogi $L$ odważnik ma energię kinetyczną $E_k=mgL$. Natomiast po kolejnej (bardzo) krótkiej chwili przestanie się on poruszać, czyli energia kinetyczna stanie się równa zero. Z prawa zachowania energii wynika, że energia ta musi zamienić się na pracę związaną z rozciągnięciem żyłki, a także inne formy energii (np. cieplną, związaną z tarciem żyłki o hak, akustyczną związaną z wydaniem dźwięku przez napinaną żyłkę, itp.). Pomijając te inne formy energii możemy założyć, że żyłka rozciągnęła się o jakiś (mały) odcinek $h$ w momencie hamowania odważnika. Podczas tego rozciągania (o odcinek długości $h$) na żyłkę będzie działać pewna siła $F$, a zatem wykonywana będzie pewna praca; pomijając te inne formy energii (np. cieplną, akustyczną), wykonana praca byłaby równa obliczonej powyżej energii kinetycznej, czyli
$$
E_k=\int_0^h F dx,
$$
gdzie $x$ oznacza współrzędną w kierunku pionowym. Zakładając ponadto, że działająca na żyłkę siła $F$ jest stała, otrzymujemy po prostu
$$
E_k=F\cdot h,
$$
skąd wynika, że działająca na żyłkę siła wynosi $F=E_k/h$. Jak widać, wyznaczenie działającej siły wymaga znajomości rozciągnięcia $h$. Wymagać by to mogło szczegółowego pomiaru tego rozciągnięcia, a zatem sam ten wynik może jeszcze nie być satysfakcjonujący. Załóżmy zatem, że żyłka wykonana jest z materiału, który spełnia prawo Hooke’a, zgodnie z którym wydłużenie $h$ powiązane jest z siłą $F$ zależnością
$$
\frac{F}{S} = E\frac{h}{L},
$$
gdzie $S$ jest polem przekroju poprzecznego żyłki, a $E$ tzw. modułem Younga, czyli współczynnikiem charakteryzującym dany materiał. Podstawiając do tego wzoru wyznaczone wyżej $h=E_k/F$ otrzymujemy
$$
F=\sqrt{\frac{ESE_k}{L}}=\sqrt{mgES}.
$$
Zatem aby wyznaczyć siłę działającą na żyłkę należałby znać współczynnik Younga $E$ materiału z którego jest ona wykonana oraz pole jej przekroju poprzecznego $S$. Należy podkreślić, że siła taka siła działa podczas całego okresu czasu w którym odważnik zwalnia, a żyłka jest rozciągana.