Wydaje się, że wśród osób nieprofesjonalnie zainteresowanych szczególną teorią względności (STW) dość rozpowszechnione jest przekonanie, że „według STW w układzie poruszającym się czas płynie wolniej”.

Tymczasem jest to nieprawda.

Nieprawdziwość powyższego stwierdzenia ma źródło w określeniu „czas płynie w danym układzie odniesienia”. Otóż z punktu widzenia STW w danym układzie odniesienia dobrze zdefiniowaną i mierzalną wielkością fizyczną  jest upływ czasu pomiędzy dwoma zdarzeniami. Natomiast „upływ czasu w danym układzie odniesienia” w oderwaniu od konkretnych zdarzeń nie jest w STW ani zdefiniowany ani mierzalny. Oznacza to, że dopóki nie ustalimy pary zdarzeń, STW nie ma nic do powiedzenia na temat „upływu czasu w danym układzie odniesienia”.

W konsekwencji postawione pytanie „Gdzie więc czas będzie płynął wolniej?” jest pytaniem o zjawisko, na temat którego STW się nie wypowiada. Pytanie, na które STW udziela odpowiedzi, brzmi: w którym z dwóch (inercjalnych) układów odniesienia upływ czasu pomiędzy zdarzeniami $Z_1$ i $Z_2$ będzie krótszy?

Najprościej można odpowiedzieć na to pytanie mówiąc, że to zależy od zdarzeń $Z_1$ i $Z_2$. Natomiast pełna odpowiedź przedstawia się następująco.

Przyjmijmy, że dane są dwa inercjalne układy odniesienia ${\cal U}$ oraz $\cal U’$, którymi posługują się obserwatorzy, odpowiednio, $\cal O$ i $\cal O’$. Posługując się swoim układem $\cal U$ obserwator $\cal O$ przypisuje zdarzeniom tworzącym czasoprzestrzeń współrzędne $(t,x,y,z)$, gdzie $t$ jest czasem, w którym zachodzi dane zdarzenie, a $(x,y,z)$ współrzędnymi miejsca, w którym to zdarzenie zachodzi. Drugi obserwator $\cal O’$ przypisuje zdarzeniom współrzędne $(t’,x’,y’,z’)$ o analogicznej interpretacji. Jeżeli założymy, że przestrzenne osie obu układów są równoległe i że prędkość układu $\cal U’$ względem $\cal U$ jest wektorem o kierunku osi $OX$ i składowej $ v \neq 0 $ to wartości współrzędnych ustalonego zdarzenia są powiązane następującą transformacją Lorentza:
\begin{equation}
\begin{aligned}
t’&=\gamma(v)(t-vx),\\
x’&=\gamma(v)(x-vt),\\
y’&=y,\\
z’&=z,
\end{aligned}
\label{lor0}
\end{equation}
gdzie
\[
\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}.
\]
Powyższe wzory obowiązują przy dodatkowym założeniu, że czas $t$ mierzymy w metrach: $1$ metr czasu to czas, w jakim światło w próżni przebywa odległość $1$ metra. W tych jednostkach prędkość jest wielkością bezwymiarową, prędkość światła $c=1$, a prędkość $v$ jest wieksza od $-1$ i mniejsza od $1$.

Przypuśćmy teraz, że obserwator $\cal O$ przypisuje wybranym zdarzeniom $Z_1,Z_2$ współrzędne, odpowiednio,

\begin{align*}
&(t_1,x_1,y_1,z_1), &&(t_2,x_2,y_2,z_2),
\end{align*}

zaś obserwator $\cal O’$ — współrzędne

\begin{align*}
&(t’_1,x’_1,y’_1,z’_1), &&(t’_2,x’_2,y’_2,z’_2).
\end{align*}

Upływ czasu między zdarzeniami $Z_1$ i $Z_2$ mierzony przez obserwatora $\cal O$ to wielkość

\[
\Delta t=t_2-t_1,
\]

zaś upływ czasu pomiędzy tymi zdarzeniami mierzony przez obserwatora $\cal O’$ to wielkość

\[
\Delta t’=t’_2-t’_1.
\]

Korzystając z transformacji Lorentza \eqref{lor0} otrzymujemy następującą zależność

\begin{equation}
\Delta t’=\gamma(v)(\Delta t-v\Delta x),
\label{lor}
\end{equation}

gdzie

\[
\Delta x=x_2-x_1.
\]

Wzór \eqref{lor}  opisuje zależność upływu czasu $\Delta t’$ od upływu czasu $\Delta t$. Istotne jest to, że $\Delta t’$ zależy nie tylko od $\Delta t$, ale także od różnicy współrzędnych $\Delta x$ charakteryzującej zdarzenia $Z_1,Z_2$. Ponieważ dla niezerowej prędkości $v$

\[
\gamma(v)>1,
\]

więc o tym czy $\Delta t’$ będzie większa, równa czy też mniejsza od $\Delta t$ decyduje wartość $\Delta x$.

Jeżeli na przykład $\Delta x=0$, czyli gdy zdarzenia $Z_1,Z_2$ mają tą samą wartość współrzędnej $x$, to
\[
\Delta t’=\gamma(v)\Delta t > \Delta t
\]
— tą sytuację nazywamy dylatacją czasu.

Ale możemy też wybrać zdarzenia $Z_1,Z_2$ w ten sposób, że wartość $v\Delta x$ jest dodatnia i na tyle duża, że

\[
\Delta t'< \Delta t.
\]
Co więcej, istnieją pary zdarzeń, takie że $\Delta t>0$ i $\Delta’t<0$. W tej sytuacji w układzie $\cal U$ najpierw zachodzi zdarzenie $Z_1$, a potem $Z_2$, a w układzie ${\cal U}'$ na odwrót — zdarzenie $Z_2$ jest wcześniejsze od zdarzenia $Z_1$. Widać stąd, że w przypadku niektórych par zdarzeń ich chronologia zależy od układu odniesienia.

Można też znaleźć parę zdarzeń o takiej różnicy $\Delta x$, że

\[
\Delta t'= \Delta t.
\]

Zatem dla niektórych par zdarzeń upływ czasu pomiędzy zdarzeniami tworzącymi parę jest krótszy w układzie $\cal U$, dla innych par — w układzie $\cal U'$, jeszcze dla innych upływ czasu w obydwu układach jest taki sam. Widać stąd, że żaden z układów nie jest wyróżniony w stosunku do drugiego i zasada względności nie jest naruszona.

Ewentualny zarzut, że zasada względności jest złamana poprzez fakt, że o relacji pomiędzy $\Delta t'$ i $\Delta t$ decyduje wielkość $\Delta x$ mierzona w układzie $\cal U$, można łatwo odeprzeć w następujący sposób. Otóż posługując się transformacją odwrotną do transformacji \eqref{lor0}  czyli transformacją

\[
\begin{aligned}
t&=\gamma(v')(t'-v'x'),\\
x&=\gamma(v')(x'-v't'),\\
y&=y',\\
z&=z',
\end{aligned}
\]

gdzie $v'=-v$ jest (niezerową) składową prędkości układu $\cal U$ względem $\cal U'$, można wyprowadzić wzór

\[
\Delta t=\gamma(v')(\Delta t'-v'\Delta x'),
\]

w którym

\[
\Delta x'=x'_2-x'_1.
\]

Wzór ten jest w pełni analogiczny do wzoru \eqref{lor} i opisuje relację pomiędzy $\Delta t$ i $\Delta t'$ w zależności od wielkości $\Delta x'$ mierzonej w układzie $\cal U'$.