Strona głównaPytania → Wzór Mieszczerskiego

Wzór Mieszczerskiego

Pytanie

Pyta Artur

Jak wyprowadzić wzór Ciołkowskiego uwzględniając siłę przyciągania planety, z której odlatuje rakieta?

Odpowiedź

Odpowiada dr hab. Piotr Sułkowski

W ogólności równanie opisujące ruch obiektu o zmiennej masie — takiego jak rakieta tracąca paliwo — jest odpowiednio zapisanym równaniem II zasady dynamiki Newtona. Równanie takie nazywane jest równaniem Mieszczerskiego i przyjmuje ono postać

\begin{equation}
m\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} + \frac{dm}{dt}\vec{u},  \label{wzor1}
\end{equation}

gdzie $m$ to (chwilowa) masa ciała, $\vec{v}$ to jego prędkość, $\vec{F}$ to siła zewnętrzna działająca na ciało, a $\vec{u}$ to prędkość odłączających się od ciała cząsteczek (np. spalanego paliwa w przypadku rakiety). Przyjmując iż rakieta porusza się pionowo, spalane gazy wyrzucane są także pionowo w kierunku planety, oraz na rakietę działa siła grawitacji $F=-mg$, powyższe równanie przyjmuje postać

$$
m\frac{dv}{dt} = -mg – \frac{dm}{dt}u.
$$

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązanie przyjmuje postać

$$
v=v_0 – u\log\frac{m}{m_0} – gt,
$$

gdzie $v$ i $v_0$ to prędkość rakiety odpowiednio w chwili końcowej i początkowej, $m$ i $m_0$ to masa rakiety odpowiednio w chwili końcowej i początkowej, natomiast $t$ to czas lotu. Jest to rozwiązanie problemu postawionego w pytaniu. W szczególności, jeśli można zaniedbać oddziaływanie grawitacyjne (czyli pominąć człon $-gt$), powyższy wzór redukuje się do tzw. wzoru Ciołkowskiego.

Równanie rakiety (\ref{wzor1}) można analizować w bardziej ogólnych sytuacjach, np. uwzględniając siły oporu. Dyskusja takich rozwiązań przedstawiona jest np. tutaj.