W pytaniu jest kilka stwierdzeń, które wymagają sprostowania.

Po pierwsze: wzór na gęstość postaci $\rho=m/V$, gdzie $m$ to masa materii, a $V$ to objętość zajmowana przez tą masę, jest słuszny jedynie w przypadku jednorodnego rozkładu materii. Ogólny wzór na gęstość jest inny. Otóż, aby policzyć gęstość $\rho(x)$ materii w ustalonym punkcie $x$, wybieramy pewne otoczenie tego punktu o objętości $\Delta V$ i znajdujemy masę $\Delta m$ materii znajdującej się w tym otoczeniu. Szukana gęstość jest zadana wzorem
$$\rho(x)=\lim_{\Delta V\to 0}\frac{\Delta m}{\Delta V}.$$
Nietrudno jest znaleźć taki przykład rozkładu materii, dla którego gęstość $\rho(x)$ osiąga nieskończoną wartość w ustalonym punkcie, mimo, że dla każdej skończonej objętości $\Delta V$ odpowiadająca jej masa $\Delta m$ jest skończona.

Po drugie: masa czarnej dziury nie jest obliczana przy użyciu gęstości masy. Więcej na ten temat można przeczytać w innej naszej odpowiedzi.

Po trzecie: w ogólnej teorii względności osobliwości nie definiuje się jako punktu o nieskończonej gęstości masy. Obecnie najczęściej stosowana definicja osobliwości odwołuje się do tzw. krzywych geodezyjnych — są to krzywe w czasoprzestrzeni będące odpowiednikami linii prostych. Ze względu na charakter geometrii czasoprzestrzeni nie każdej krzywej geodezyjnej można przypisać długość, ale z każdą geodezyjną związany jest tzw. parametr afiniczny, który można traktować jako pewne uogólnienie długości. Jeżeli parametr afiniczny związany z daną geodezyjną przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste to taką geodezyjną nazywa się zupełną — zupełność oznacza, że geodezyjna ma nieskończoną „afiniczną długość” w obu kierunkach. Geodezyjną nazywamy niezupełną, jeżeli nie da się jej przedłużyć do geodezyjnej zupełnej. I wreszcie: mówimy, że czasoprzestrzeń jest osobliwa, jeżeli istnieje w niej przynajmniej jedna niezupełna geodezyjna.

Podsumowując, teoria z osobliwością w czarnej dziurze jest poprawna.